Verifique se os conjuntos S abaixo são subespaços vetoriais de V. S=(x, y) in R^2 mid x=y e V=R^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto e o espaço vetorial . Queremos verificar se é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar saber quais são as condições para um conjunto ser subespaço vetorial. Precisamos verificar três coisas:
  1. O vetor zero está em .
  2. é fechado sob adição de vetores.
  3. é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Verificando o vetor zero: O vetor zero em x = y Rightarrow 0 = 0 é . Vamos ver se ele pertence a :
Como essa igualdade é verdadeira, o vetor zero está em .

Passo 3

Fechamento sob adição: Agora, vamos verificar se a soma de dois vetores quaisquer de u + v = (x1 + x2, y1 + y2) também está em x1 + x2 = y1 + y2 . Seja e pertencentes a , ou seja, e .
A soma desses vetores é:
Como e , então:
Portanto, também satisfaz , ou seja, pertence a .

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar: Por último, vamos verificar se ao multiplicar um vetor de c cdot u = (c cdot x, c cdot y) por um escalar qualquer, o resultado também pertence a c cdot x = c cdot y . Seja em e um escalar qualquer.
A multiplicação por escalar fica:
Como , temos:
Portanto, também satisfaz , pertencendo a .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

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