Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D. S=(1,2,3,4),(4,3,2,1),(0,1,2,3).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores S = (1,2,3,4), (4,3,2,1), (0,1,2,3) e precisamos verificar se esses vetores são Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear sobre combinação linear e determinante.

Passo 2

Para verificar se os vetores são L.I. ou L.D., vamos montar uma matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores. Neste caso, vamos formar a matriz A:
A = 1 & 2 & 3 & 4 4 & 3 & 2 & 1 0 & 1 & 2 & 3

Passo 3

Como temos 3 vetores em um espaço de 4 dimensões, não podemos calcular o determinante diretamente. Em vez disso, vamos verificar se existe uma combinação linear não trivial desses vetores que resulta no vetor zero. Isso significa encontrar escalares c1, c2, c3 tais que:
c1 cdot (1,2,3,4) + c2 cdot (4,3,2,1) + c3 cdot (0,1,2,3) = (0,0,0,0)

Passo 4

Vamos escrever isso como um sistema de equações:
c1 cdot 1 + c2 cdot 4 + c3 cdot 0 = 0 c1 cdot 2 + c2 cdot 3 + c3 cdot 1 = 0 c1 cdot 3 + c2 cdot 2 + c3 cdot 2 = 0 c1 cdot 4 + c2 cdot 1 + c3 cdot 3 = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
c1 + 4c2 = 0 implies c1 = -4c2
Substituindo c1 nas outras equações:
Segunda equação:
2(-4c2) + 3c2 + c3 = 0 implies -8c2 + 3c2 + c3 = 0 implies -5c2 + c3 = 0 implies c3 = 5c2
Terceira equação:
3(-4c2) + 2c2 + 2(5c2) = 0 implies -12c2 + 2c2 + 10c2 = 0 implies 0 = 0
Quarta equação:
4(-4c2) + c2 + 3(5c2) = 0 implies -16c2 + c2 + 15c2 = 0 implies 0 = 0

Passo 6

Observamos que temos soluções não triviais para c1, c2 e c3. Por exemplo, se c2 = 1, então c1 = -4 e c3 = 5. Isso significa que existe uma combinação linear dos vetores que resulta no vetor zero sem que todos os coeficientes sejam zero.

Resposta

Os vetores do conjunto S são Linearmente Dependentes (L.D.).

Exercícios relacionados

Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D. S=(1,2,1,1,1),(0,0,1,1,0),(1,0,0,0,1).
Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D. S=(1,1,0),(1,1,1),(0,0,0).
Verifique se os conjuntos S abaixo são subespaços vetoriais de V. S=(x, y) in R^2 mid x=y e V=R^2.
Para quais valores reais de lambda os vetores v1=(lambda,-1 / 2,-1 / 2), v2=(-1 / 2,-1 / 2, lambda) e v3=(-1 / 2, lambda,-1 / 2) formam um conjunto L.I. em R^3 ?