Verifique se os conjuntos S abaixo são subespaços vetoriais de V. S=(x, y) mid x+y=0 e V=R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que verificar se o conjunto é um subespaço vetorial do espaço . Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e ver se satisfaz as condições necessárias para ser um.

Passo 2

Primeiro, um subespaço vetorial precisa cumprir três regras básicas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor precisa estar em .
  2. Fechado para a adição: Se você pegar dois vetores que estão em e somar, o resultado também precisa estar em .
  3. Fechado para a multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor de por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

1. Verificando se 0 + 0 = 0 contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz a condição :
Como a igualdade é verdadeira, está em . Então, a primeira condição é satisfeita.

Passo 4

2. Verificando se x1 + y1 = 0 é fechado para adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em x2 + y2 = 0 . Seja u + v = (x1 + x2, y1 + y2) e (x1 + x2) + (y1 + y2) = 0 tais que:
x1 + y1 + x2 + y2 = 0 + 0 = 0
Agora, somamos esses vetores:
Para esse vetor também estar em , devemos ter:
Então, a soma de dois vetores em também está em . A segunda condição é satisfeita.

Passo 5

3. Verificando se c cdot u = (c x, c y) é fechado para multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em c x + c y = c (x + y) = c cdot 0 = 0 , , onde , e multiplicar por um escalar :
Para esse vetor também estar em , deve valer:
Então, a multiplicação de um vetor de por qualquer escalar também está em . A terceira condição é satisfeita.

Resposta

Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado para adição e é fechado para multiplicação por escalar, podemos concluir que é, de fato, um subespaço vetorial de .

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