Verifique se os conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço
. Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e ver se
satisfaz as condições necessárias para ser um.
Passo 2
Primeiro, um subespaço vetorial precisa cumprir três regras básicas:
- Contém o vetor zero: O vetor
precisa estar em . - Fechado para a adição: Se você pegar dois vetores que estão em
e somar, o resultado também precisa estar em . - Fechado para a multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor de
por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Verificando se
contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
:
Como a igualdade é verdadeira,
está em
. Então, a primeira condição é satisfeita.
Passo 4
2. Verificando se
é fechado para adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
. Seja
e
tais que:
Agora, somamos esses vetores:
Para esse vetor também estar em
, devemos ter:
Então, a soma de dois vetores em
também está em
. A segunda condição é satisfeita.
Passo 5
3. Verificando se
é fechado para multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
,
, onde
, e multiplicar por um escalar
:
Para esse vetor também estar em
, deve valer:
Então, a multiplicação de um vetor de
por qualquer escalar também está em
. A terceira condição é satisfeita.
Resposta
Como o conjunto
contém o vetor zero, é fechado para adição e é fechado para multiplicação por escalar, podemos concluir que
é, de fato, um subespaço vetorial de
.
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abaixo são subespaços vetoriais de
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Para quais valores reais de
os vetores
,
e
formam um conjunto L.I. em
?
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.
e
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