Vapor dágua escoa, em estado estacionário, através de um bocal convergente, isolado termicamente, com 25 cm de comprimento e 5 cm de diâmetro na entrada. Na entrada do bocal (estado 1), a temperatura e a pressão são de
e 700 KPa , respectivamente, e a velocidade é de
. Na saída do bocal (estado 2), a temperatura e a pressão do vapor dágua são
e 350 KPa. Qual a velocidade do vapor na saída do bocal e qual o diâmetro nesta saída?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede e no que vamos usar para resolver. Temos um bocal por onde passa vapor d’água. Nas duas pontas do bocal, conhecemos a temperatura, a pressão e a velocidade do vapor. Queremos descobrir qual é a velocidade do vapor na saída do bocal e também o diâmetro dessa saída.
Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação da continuidade e as relações entre densidade, temperatura e pressão para gases. Vamos passo a passo para entender tudo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da continuidade. Ela nos diz que, para um fluxo incompressível, a massa que entra deve ser igual à massa que sai. Matematicamente, isso é representado por:
Onde:
- $ A $ é a área da seção transversal do bocal
- $ v $ é a velocidade do fluido
Mas, como estamos lidando com vapor d’água, que pode ser considerado um gás, precisamos levar em conta a densidade do vapor nas duas pontas do bocal. Então, a equação da continuidade para gases fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular as áreas das seções transversais na entrada e na saída do bocal. Sabemos que a área de um círculo é $ A = \pi \cdot (d/2)^2 $, onde $ d $ é o diâmetro.
Na entrada:
- Diâmetro $ d_1 = 5 $ cm = 0,05 m
- Área $ A_1 = \pi \cdot (0,05/2)^2 $
Na saída:
- Diâmetro $ d_2 = ? $ (vamos encontrar)
- Área $ A_2 = \pi \cdot (d_2/2)^2 $
Passo 4
Vamos precisar encontrar a densidade do vapor d’água nas duas condições. Para isso, vamos usar a Lei dos Gases Ideais:
Onde:
- $ P $ é a pressão
- $ \rho $ é a densidade
- $ R $ é a constante dos gases para vapor d’água (≈ 0,4615 kJ/kg·K)
- $ T $ é a temperatura em Kelvin
Precisamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin:
- $ T_1 = 325°C + 273 = 598 $ K
- $ T_2 = 240°C + 273 = 513 $ K
Agora, calculamos as densidades:
Para a entrada:
Para a saída:
Passo 5
Vamos calcular os valores das densidades:
Para a entrada:
Para a saída:
Passo 6
Agora que temos as densidades, vamos usar a equação da continuidade ajustada para fluidos compressíveis:
Queremos encontrar $ v_2 $ e $ d_2 $. Primeiro, vamos resolver para $ v_2 $:
Mas também precisamos relacionar as áreas, sabendo que $ A = \pi \cdot (d/2)^2 $, então:
Passo 7
Vamos reorganizar a equação para encontrar $ d_2 $:
Primeiro, expressamos $ A_2 $ em termos de $ d_2 $:
Substituindo na equação da continuidade:
Agora, precisamos encontrar uma relação entre $ v_2 $ e $ d_2 $. Isso pode envolver suposições sobre a conservação de energia ou outras equações, mas para simplificar, vamos assumir que a energia cinética aumenta devido à redução de pressão.
Passo 8
Uma abordagem mais direta é usar a equação da continuidade para gases, que relaciona velocidades e diâmetros diretamente:
Sabemos que $ A = \pi \cdot (d/2)^2 $, então:
Substituindo na equação:
Passo 9
Vamos reorganizar para encontrar $ d_2 $:
Então:
Mas ainda temos duas incógnitas ($ v_2 $ e $ d_2 $), então precisamos de outra equação. Vamos usar a conservação de energia para relacionar as velocidades.
Passo 10
A conservação de energia para fluxo estacionário em um sistema isolado termicamente (segundo o enunciado) pode ser representada pela equação de Bernoulli para gases:
Onde $ h $ é a entalpia do vapor. Como não temos dados específicos sobre a entalpia, vamos simplificar assumindo que a variação na entalpia está relacionada à variação de temperatura:
Onde $ c_p $ é a capacidade calorífica a pressão constante.
Passo 11
Substituindo na equação de energia:
Isolando $ v_2 $:
Precisamos conhecer $ c_p $ para o vapor d’água. Geralmente, $ c_p \approx 2,01 , kJ/kg·K $.
Passo 12
Agora, calculamos $ v_2 $:
Primeiro, calculamos a diferença de temperatura:
Multiplicando:
Agora, somamos ao quadrado da velocidade inicial:
Finalmente:
Passo 13
Agora que temos $ v_2 $, vamos voltar à equação da continuidade para encontrar $ d_2 $:
Substituindo os valores:
- $ d_1 = 0,05 , m $
- $ \rho_1 = 2,54 , kg/m^3 $
- $ v_1 = 30 , m/s $
- $ \rho_2 = 1,48 , kg/m^3 $
- $ v_2 = 35,23 , m/s $
Então:
Convertendo para centímetros:
Resposta
A velocidade do vapor na saída do bocal é aproximadamente 35,23 m/s e o diâmetro na saída é cerca de 6,05 cm.