E que o sistema possui 10 partículas.
Estado I: (0, 0, 1, 2, 4, 2, 1, 0, 0, 0)
Estado II: (0, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 0, 0)
Estado III: (1, 2, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1)
Calcule (usando
):
Responda: Qual dos dois estados tem maior probabilidade de ser observado e qual o seu valor:
a) I ou II?
Estado I: (0, 0, 1, 2, 4, 2, 1, 0, 0, 0)
Estado II: (0, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 0, 0)
Estado III: (1, 2, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1)
Calcule (usando
Responda: Qual dos dois estados tem maior probabilidade de ser observado e qual o seu valor:
a) I ou II?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou está relacionado à Estatística em Sistemas de Partículas, especificamente analisando a probabilidade de diferentes estados de energia em um sistema com 10 partículas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a probabilidade de cada estado com base na distribuição das partículas nos níveis de energia. Vamos seguir passo a passo para descobrir qual dos estados, I ou II, tem maior probabilidade de ser observado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada estado representa. Cada estado (I e II) mostra como as 10 partículas estão distribuídas entre os diferentes níveis de energia do sistema. A notação
indica o número de partículas em cada nível de energia $ \varepsilon_n $.
Por exemplo, no Estado I: (0, 0, 1, 2, 4, 2, 1, 0, 0, 0)
-
partículas no nível -
partículas no nível -
partícula no nível - E assim por diante…
Passo 3
Para calcular a probabilidade de um estado, precisamos calcular o número de microestados possíveis que correspondem a esse estado macro. Isso é dado pela multiplicidade $ \Omega $, que representa o número de maneiras diferentes de distribuir as partículas nos níveis de energia.
A fórmula para a multiplicidade é:
Onde:
- $ N = 10 $ é o número total de partículas.
- $ n_i $ é o número de partículas no nível de energia $ i $.
Passo 4
Vamos calcular a multiplicidade para cada estado.
Estado I: (0, 0, 1, 2, 4, 2, 1, 0, 0, 0)
Simplificando:
Estado II: (0, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 0, 0)
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos as multiplicidades, podemos comparar as probabilidades dos estados. A probabilidade de cada estado é proporcional à sua multiplicidade.
Então,
- $ \Omega_I = 37,!800 $
- $ \Omega_{II} = 453,!600 $
Comparando os valores, vemos que $ \Omega_{II} > \Omega_I $.
Passo 6
Para encontrar a probabilidade relativa de cada estado, podemos calcular a fração da multiplicidade de cada estado em relação à soma total das multiplicidades dos dois estados.
Primeiro, calculamos a soma das multiplicidades:
Agora, a probabilidade de cada estado é:
Resposta
O Estado II tem maior probabilidade de ser observado. A probabilidade do Estado II é aproximadamente 92,3%.