varepsilonn=(n+12) cdot varepsilon0 ; n=0,1,2, ldots, 9
E que o sistema possui 10 partículas.
Estado I: (0, 0, 1, 2, 4, 2, 1, 0, 0, 0)
Estado II: (0, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 0, 0)
Estado III: (1, 2, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1)
Calcule (usando k=1.3806488 times 10^-23 m^2 kg s^-2 K^-1 ):
Responda: Qual dos dois estados tem maior probabilidade de ser observado e qual o seu valor:
a) I ou II?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou está relacionado à Estatística em Sistemas de Partículas, especificamente analisando a probabilidade de diferentes estados de energia em um sistema com 10 partículas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a probabilidade de cada estado com base na distribuição das partículas nos níveis de energia. Vamos seguir passo a passo para descobrir qual dos estados, I ou II, tem maior probabilidade de ser observado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada estado representa. Cada estado (I e II) mostra como as 10 partículas estão distribuídas entre os diferentes níveis de energia do sistema. A notação (n0, n1, n2, ldots, n9) indica o número de partículas em cada nível de energia $ \varepsilon_n $.
Por exemplo, no Estado I: (0, 0, 1, 2, 4, 2, 1, 0, 0, 0)
  • varepsilonn partículas no nível n0 = 0
  • varepsilon0 partículas no nível n1 = 0
  • varepsilon1 partícula no nível n2 = 1
  • E assim por diante…

Passo 3

Para calcular a probabilidade de um estado, precisamos calcular o número de microestados possíveis que correspondem a esse estado macro. Isso é dado pela multiplicidade $ \Omega $, que representa o número de maneiras diferentes de distribuir as partículas nos níveis de energia.
A fórmula para a multiplicidade é:
Omega
Onde:
  • $ N = 10 $ é o número total de partículas.
  • $ n_i $ é o número de partículas no nível de energia $ i $.

Passo 4

Vamos calcular a multiplicidade para cada estado.
Estado I: (0, 0, 1, 2, 4, 2, 1, 0, 0, 0)
OmegaI = 10!0! times 0! times 1! times 2! times 4! times 2! times 1! times 0! times 0! times 0!
Simplificando:
OmegaI = 10!1 times 1 times 1 times 2 times 24 times 2 times 1 times 1 times 1 times 1 = 362880096 = 37800
Estado II: (0, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 0, 0)
OmegaII = 10!0! times 1! times 1! times 2! times 2! times 2! times 1! times 1! times 0! times 0!
Simplificando:
OmegaII = 10!1 times 1 times 1 times 2 times 2 times 2 times 1 times 1 times 1 times 1 = 36288008 = 453600

Passo 5

Agora que temos as multiplicidades, podemos comparar as probabilidades dos estados. A probabilidade de cada estado é proporcional à sua multiplicidade.
Então,
  • $ \Omega_I = 37,!800 $
  • $ \Omega_{II} = 453,!600 $
Comparando os valores, vemos que $ \Omega_{II} > \Omega_I $.

Passo 6

Para encontrar a probabilidade relativa de cada estado, podemos calcular a fração da multiplicidade de cada estado em relação à soma total das multiplicidades dos dois estados.
Primeiro, calculamos a soma das multiplicidades:
OmegaTotal = OmegaI + OmegaII = 37,!800 + 453,!600 = 491,!400
Agora, a probabilidade de cada estado é:
PI = OmegaIOmegaTotal = 37,!800491,!400 approx 0,077
PII = OmegaIIOmegaTotal = 453,!600491,!400 approx 0,923

Resposta

O Estado II tem maior probabilidade de ser observado. A probabilidade do Estado II é aproximadamente 92,3%.

Exercícios relacionados