z(u, v, x)=12 u^3 v cos (x)
Portanto, sua diferencial é:
d z=M d u+N d v+F d x
Mostre que (calcule os dois lados das equações e verifique que são iguais):
a) (partial Mpartial v)u, x=(partial Npartial u)v, x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função $ z(u, v, x) = 12 u^{3} v \cos(x) $ e sua diferencial é dada por:
z(u, v, x) = 12 u^3 v cos(x)
A tarefa é mostrar que:
dz = M , du + N , dv + F , dx
Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a cada variável e depois verificar a igualdade das derivadas cruzadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as expressões para $ M $, $ N $ e $ F $ a partir da diferencial $ dz $. Sabemos que:
M
Comparando com $ dz = M , du + N , dv + F , dx $, temos:
N

Passo 3

Vamos calcular $ M = \frac{\partial z}{\partial u} $. Dada $ z(u, v, x) = 12 u^{3} v \cos(x) $, derivamos em relação a $ u $, mantendo $ v $ e $ x $ constantes:
M = partial zpartial u

Passo 4

Agora, calculamos $ N = \frac{\partial z}{\partial v} $. Derivando $ z $ em relação a $ v $, mantendo $ u $ e $ x $ constantes:
N = partial zpartial v

Passo 5

Em seguida, calculamos $ F = \frac{\partial z}{\partial x} $. Derivando $ z $ em relação a $ x $, mantendo $ u $ e $ v $ constantes:
F = partial zpartial x
(Note que a derivada de $ \cos(x) $ é $ -\sin(x) $)

Passo 6

Agora que temos $ M $ e $ N $, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar a igualdade:
M
Primeiro, calculamos $ \frac{\partial M}{\partial v} $.

Passo 7

Calculando $ \frac{\partial M}{\partial v} $ com $ M = 36 u^{2} v \cos(x) $:
partial Mpartial v
Aqui, derivamos em relação a $ v $ e tratamos $ u $ e $ x $ como constantes.

Passo 8

Agora, calculamos $ \frac{\partial N}{\partial u} $ com $ N = 12 u^{3} \cos(x) $:
partial Npartial u
Derivamos $ N $ em relação a $ u $, mantendo $ v $ e $ x $ constantes.

Passo 9

Comparando os resultados obtidos:
partial Mpartial v = 36 u^2 cos(x) e partial Npartial u = 36 u^2 cos(x)
Vemos que ambos os lados são iguais.

Resposta

Portanto, mostramos que:
(partial Mpartial v)u, x = (partial Npartial u)v, x = 36 u^2 cos(x)
As duas derivadas parciais são iguais, conforme solicitado.

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