Portanto, sua diferencial é:
Mostre que (calcule os dois lados das equações e verifique que são iguais):
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função $ z(u, v, x) = 12 u^{3} v \cos(x) $ e sua diferencial é dada por:
A tarefa é mostrar que:
Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a cada variável e depois verificar a igualdade das derivadas cruzadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as expressões para $ M $, $ N $ e $ F $ a partir da diferencial $ dz $. Sabemos que:
Comparando com $ dz = M , du + N , dv + F , dx $, temos:
Passo 3
Vamos calcular $ M = \frac{\partial z}{\partial u} $. Dada $ z(u, v, x) = 12 u^{3} v \cos(x) $, derivamos em relação a $ u $, mantendo $ v $ e $ x $ constantes:
Passo 4
Agora, calculamos $ N = \frac{\partial z}{\partial v} $. Derivando $ z $ em relação a $ v $, mantendo $ u $ e $ x $ constantes:
Passo 5
Em seguida, calculamos $ F = \frac{\partial z}{\partial x} $. Derivando $ z $ em relação a $ x $, mantendo $ u $ e $ v $ constantes:
(Note que a derivada de $ \cos(x) $ é $ -\sin(x) $)
Passo 6
Agora que temos $ M $ e $ N $, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar a igualdade:
Primeiro, calculamos $ \frac{\partial M}{\partial v} $.
Passo 7
Calculando $ \frac{\partial M}{\partial v} $ com $ M = 36 u^{2} v \cos(x) $:
Aqui, derivamos em relação a $ v $ e tratamos $ u $ e $ x $ como constantes.
Passo 8
Agora, calculamos $ \frac{\partial N}{\partial u} $ com $ N = 12 u^{3} \cos(x) $:
Derivamos $ N $ em relação a $ u $, mantendo $ v $ e $ x $ constantes.
Passo 9
Comparando os resultados obtidos:
Vemos que ambos os lados são iguais.
Resposta
Portanto, mostramos que:
As duas derivadas parciais são iguais, conforme solicitado.