Qual a variação de energia cinética entre uma roda cilíndrica, uniforme, de , se sua posição angular é dada por onde está em radianos e em segundos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a variação da energia cinética de uma roda cilíndrica uniforme entre os tempos segundos e segundos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia cinética rotacional e como calcular a velocidade angular a partir da posição angular fornecida.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a energia cinética rotacional ( ) de um objeto em rotação é dada pela fórmula:
onde:
  • é o momento de inércia da roda.
  • é a velocidade angular.
No nosso caso, o momento de inércia é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a velocidade angular da roda nos instantes de tempo s e s. Sabemos que a posição angular está dada por:
A velocidade angular é a derivada da posição angular em relação ao tempo. Então, vamos derivar :

Passo 4

Agora, vamos calcular e :
Para s:
Para s:

Passo 5

Com as velocidades angulares nos dois instantes, podemos calcular a energia cinética em cada um deles.
Para s:
Para s:

Passo 6

Finalmente, a variação da energia cinética ( ) é a diferença entre a energia cinética em s e em s:

Resposta

A variação da energia cinética da roda cilíndrica entre s e s é de 1344 joules.

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