Qual a variação de energia cinética entre t=2 s e t=4 sde uma roda cilíndrica, uniforme, de I=3,5 kgm^2, se sua posição angular é dada por theta=4,0 t-3 t^2+t^3 onde theta está em radianos e t em segundos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a variação da energia cinética de uma roda cilíndrica uniforme entre os tempos segundos e segundos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia cinética rotacional e como calcular a velocidade angular a partir da posição angular fornecida.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a energia cinética rotacional ( K = 12 I omega^2 ) de um objeto em rotação é dada pela fórmula:
onde:
  • é o momento de inércia da roda.
  • é a velocidade angular.
No nosso caso, o momento de inércia é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a velocidade angular theta(t) = 4,0 , t - 3 , t^2 + t^3 da roda nos instantes de tempo omega(t) = dthetadt = 4,0 - 6 , t + 3 , t^2 s e s. Sabemos que a posição angular está dada por:
A velocidade angular é a derivada da posição angular em relação ao tempo. Então, vamos derivar :

Passo 4

Agora, vamos calcular omega(2) = 4,0 - 6 times 2 + 3 times (2)^2 = 4,0 - 12 + 12 = 4,0 , rad/s e omega(4) = 4,0 - 6 times 4 + 3 times (4)^2 = 4,0 - 24 + 48 = 28,0 , rad/s :
Para s:
Para s:

Passo 5

Com as velocidades angulares nos dois instantes, podemos calcular a energia cinética em cada um deles.
Para K(2) = 12 times 3,5 times (4,0)^2 = 12 times 3,5 times 16 = 12 times 56 = 28 , J s:
K(4) = 12 times 3,5 times (28,0)^2 = 12 times 3,5 times 784 = 12 times 2744 = 1372 , J
Para s:

Passo 6

Finalmente, a variação da energia cinética ( De) é a diferença entre a energia cinética em s e em s:

Resposta

A variação da energia cinética da roda cilíndrica entre s e s é de 1344 joules.

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