Então, galera, vamos lá! A gente tem o seguinte problema:
Dado que e o vetor , precisamos encontrar o rotacional de , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um vetor e como calcular o rotacional de uma função escalar multiplicada por um vetor. Vamos usar cálculo vetorial básico para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o rotacional de um vetor , que é ou , mede a tendência de rotação do vetor em cada ponto do espaço.
No nosso caso, queremos calcular . Existe uma fórmula útil para o rotacional de uma função escalar multiplicada por um vetor:
Então, vamos seguir esses dois passos:
Calcular o gradiente de , ou seja, .
Calcular o rotacional de , ou seja, .
Calcular o produto cruzado .
Somar os dois resultados para obter .
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de , .
A função .
O gradiente é dado por:
Calculando cada derivada parcial:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o rotacional de , .
A função .
O rotacional é dado por:
Calculando cada componente:
Então,
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto cruzado .
Temos:
O produto cruzado é calculado usando a matriz determinante:
Calculando cada componente:
Para :
Para :
Para :
Então,
Passo 6
Agora, vamos somar os dois resultados para obter :