Se phi(x, y, z) = x^2 * y * z^3 e F = x z i + y^2 j + 2 x^2 y k. Determine rot(ϕ F)

Passo 1

Então, galera, vamos lá! A gente tem o seguinte problema:
Dado que e o vetor , precisamos encontrar o rotacional de , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um vetor e como calcular o rotacional de uma função escalar multiplicada por um vetor. Vamos usar cálculo vetorial básico para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o rotacional de um vetor , que é ou , mede a tendência de rotação do vetor em cada ponto do espaço.
No nosso caso, queremos calcular . Existe uma fórmula útil para o rotacional de uma função escalar multiplicada por um vetor:
Então, vamos seguir esses dois passos:
  1. Calcular o gradiente de , ou seja, .
  2. Calcular o rotacional de , ou seja, .
  3. Calcular o produto cruzado .
  4. Somar os dois resultados para obter .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de , .
A função .
O gradiente é dado por:
Calculando cada derivada parcial:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional de , .
A função .
O rotacional é dado por:
Calculando cada componente:
Então,
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto cruzado .
Temos:
O produto cruzado é calculado usando a matriz determinante:
Calculando cada componente:
Para :
Para :
Para :
Então,

Passo 6

Agora, vamos somar os dois resultados para obter :
Já calculamos:
E também:
Além disso, , então:
Agora, somando os dois vetores:
Para :
Para :
Para :

Resposta

Portanto, o rotacional de é:

Exercícios relacionados