A vazão volumétrica (q) de um fluido que escoa através de uma abertura no fundo de um tanque mantido com nível constante e aberto para a atmosfera, se for usado um sistema de engenharia, é dada por: q=0,61 Ao 2 gc De na qual A= área transversal da abertura; De queda (ou diferença) de pressão através da abertura; ep = massa específica do fluido. a. Mostre que essa equação é dimensionalmente consistente. Quais são as unidades da constante 0,61 ? b. Como ficaria a equação, se fosse usado o SI? c. Se o tanque for mantido com nível constante de 6,0 m acima do fundo e área transversal da abertura de 10,0 cm^2, ache a vazão de água que passa pela abertura

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica dos fluidos juntos! O problema fala sobre a vazão volumétrica de um fluido que escorre por uma abertura no fundo de um tanque. A gente precisa analisar três partes:
a. Verificar se a equação dada é dimensionalmente consistente e descobrir as unidades da constante 0,61.
b. Adaptar a equação para usar o Sistema Internacional de Unidades (SI).
c. Calcular a vazão de água passando pela abertura com dados específicos.
Para isso, vamos precisar entender conceitos de dimensões físicas, unidades de medida e a aplicação da equação de vazão volumétrica.

Passo 2

Parte a: Verificar a consistência dimensional e encontrar as unidades da constante 0,61
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação fornecida:
q = 0,61 times A times raiz2 cdot gc cdot De
Aqui:
  • 2 cdot gc cdot De é a vazão volumétrica (m³/s)
  • m/s² cdot kg/(m·s²)kg/m³ = kg/(m·s²)kg/m³ = kg·m³kg·m·s² = m²s² é a área transversal da abertura (m²)
  • A times m/s = m³/s é a diferença de pressão (Pa ou N/m²)
  • é a massa específica do fluido (kg/m³)
  • gc geralmente representa a aceleração gravitacional (m/s²), mas pode haver uma notação específica no contexto.
Para verificar a consistência dimensional, cada termo do lado direito da equação deve resultar em unidades de vazão volumétrica (m³/s).
Vamos analisar as unidades dentro da raiz quadrada:
Unidades de cada termo:
  • : m/s²
  • : N/m² = kg/(m·s²)
  • : kg/m³
Substituindo as unidades:
²²³²³³²²²
A raiz quadrada de ²² é .
Agora, multiplicando pela área (m²):
³
Isso confirma que a equação é dimensionalmente consistente para resultar em uma vazão volumétrica (m³/s).
Agora, precisamos descobrir as unidades da constante 0,61. Como todas as outras partes da equação já estão em unidades do SI e a equação é consistente, a constante 0,61 é adimensional, ou seja, não possui unidades.

Passo 3

Parte b: Adaptar a equação para o Sistema Internacional de Unidades (SI)
A equação original já está praticamente no Sistema Internacional, mas vamos verificar e ajustar se necessário.
A equação dada é:
q = 0,61 times A times raiz2 cdot gc cdot De
No SI:
  • q = 0,61 times A times raiz2 cdot g cdot De deve estar em metros quadrados (m²).
  • q = 0,61 times A times raiz2 cdot 9,81 , m/s² cdot De em pascals (Pa), onde 1 Pa = 1 N/m².
  • em kg/m³.
  • em m/s².
Se considerarmos que a constante 0,61 é adimensional, a equação no SI continua a mesma:
Onde é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²).
Então, a equação adaptada para o SI é:
²

Passo 4

Parte c: Calcular a vazão de água passando pela abertura
Dados fornecidos:
  • Nível constante acima do fundo do tanque: De
  • Área transversal da abertura: q = 0,61 times A times raiz2 cdot g cdot De²²
  • Massa específica da água: q = 0,61 times 10,0 times 10^-4 , m² times raiz2 cdot 9,81 , m/s² times 58.860 , Pa1000 , kg/m³ ³ (valor padrão)
  • 2 cdot 9,81 cdot 58.8601000 = 1.156.1161000 = 1.156,116 , m²/s² ²
  • raiz1.156,116 approx 34,0 , m/s (diferença de pressão devido à coluna de água)
Primeiro, calculamos q = 0,61 times 10,0 times 10^-4 times 34,0 approx 0,61 times 0,001 times 34,0 approx 0,0207 , m³/s :
³²
Agora, substituímos os valores na equação da vazão:
Substituindo os valores:
²²³
Vamos calcular o que está dentro da raiz primeiro:
²²
A raiz quadrada disso é:
Agora, multiplicamos por ²:
³

Resposta

A vazão de água que passa pela abertura é aproximadamente ³.

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