A vazão volumétrica (q) de um fluido que escoa através de uma abertura no fundo de um tanque mantido com nível constante e aberto para a atmosfera, se for usado um sistema de engenharia, é dada por:
Ao
na qual
área transversal da abertura;
queda (ou diferença) de pressão através da abertura; ep = massa específica do fluido. a. Mostre que essa equação é dimensionalmente consistente. Quais são as unidades da constante 0,61 ? b. Como ficaria a equação, se fosse usado o SI? c. Se o tanque for mantido com nível constante de
acima do fundo e área transversal da abertura de
, ache a vazão de água que passa pela abertura
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica dos fluidos juntos! O problema fala sobre a vazão volumétrica de um fluido que escorre por uma abertura no fundo de um tanque. A gente precisa analisar três partes:
a. Verificar se a equação dada é dimensionalmente consistente e descobrir as unidades da constante 0,61.
b. Adaptar a equação para usar o Sistema Internacional de Unidades (SI).
c. Calcular a vazão de água passando pela abertura com dados específicos.
Para isso, vamos precisar entender conceitos de dimensões físicas, unidades de medida e a aplicação da equação de vazão volumétrica.
Passo 2
Parte a: Verificar a consistência dimensional e encontrar as unidades da constante 0,61
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação fornecida:
Aqui:
-
é a vazão volumétrica (m³/s) -
é a área transversal da abertura (m²) -
é a diferença de pressão (Pa ou N/m²) -
é a massa específica do fluido (kg/m³) - gc geralmente representa a aceleração gravitacional (m/s²), mas pode haver uma notação específica no contexto.
Para verificar a consistência dimensional, cada termo do lado direito da equação deve resultar em unidades de vazão volumétrica (m³/s).
Vamos analisar as unidades dentro da raiz quadrada:
Unidades de cada termo:
-
: m/s² -
: N/m² = kg/(m·s²) -
: kg/m³
Substituindo as unidades:
A raiz quadrada de
é
.
Agora, multiplicando pela área
(m²):
Isso confirma que a equação é dimensionalmente consistente para resultar em uma vazão volumétrica
(m³/s).
Agora, precisamos descobrir as unidades da constante 0,61. Como todas as outras partes da equação já estão em unidades do SI e a equação é consistente, a constante 0,61 é adimensional, ou seja, não possui unidades.
Passo 3
Parte b: Adaptar a equação para o Sistema Internacional de Unidades (SI)
A equação original já está praticamente no Sistema Internacional, mas vamos verificar e ajustar se necessário.
A equação dada é:
No SI:
-
deve estar em metros quadrados (m²). -
em pascals (Pa), onde 1 Pa = 1 N/m². -
em kg/m³. -
em m/s².
Se considerarmos que a constante 0,61 é adimensional, a equação no SI continua a mesma:
Onde
é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²).
Então, a equação adaptada para o SI é:
Passo 4
Parte c: Calcular a vazão de água passando pela abertura
Dados fornecidos:
- Nível constante acima do fundo do tanque:
- Área transversal da abertura:
- Massa específica da água:
(valor padrão) -
-
(diferença de pressão devido à coluna de água)
Primeiro, calculamos
:
Agora, substituímos os valores na equação da vazão:
Substituindo os valores:
Vamos calcular o que está dentro da raiz primeiro:
A raiz quadrada disso é:
Agora, multiplicamos por
:
Resposta
A vazão de água que passa pela abertura é aproximadamente
.
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