Com que velocidade um objeto se chocará com o asteroide se for liberado sem velocidade inicial 1000 km acima da superfície?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta: “Com que velocidade um objeto se chocará com o asteroide se for liberado sem velocidade inicial 1000 km acima da superfície?” Estamos lidando com o conteúdo de cinemática e leis de conservação de energia. Para resolver isso, vamos precisar entender como a gravidade acelera o objeto à medida que ele cai em direção ao asteroide e como calcular a velocidade final usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber a distância total que o objeto vai percorrer. Ele está começando 1000 km acima da superfície do asteroide. Vamos converter essa distância para metros para facilitar os cálculos:
1000 , km = 1.000.000 , m

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei da Conservação de Energia. A energia potencial gravitacional inicial será convertida em energia cinética quando o objeto atingir a superfície do asteroide. A equação geral é:
12 m v^2 = G M mR - G M mR + h
Onde:
  • $ m $ é a massa do objeto,
  • $ v $ é a velocidade final,
  • $ G $ é a constante gravitacional ( m ),
  • $ M $ é a massa do asteroide,
  • $ R $ é o raio do asteroide,
  • $ h $ é a altura inicial (1000 km).

Passo 4

Para simplificar, podemos cancelar a massa $ m $ dos dois lados da equação:
m
Agora, isolamos $ v $:
12 v^2 = G M ( 1R - 1R + h )

Passo 5

Precisamos dos valores de $ M $ e $ R $ do asteroide. Vamos supor que estamos falando de um asteroide típico como o Eros, que tem uma massa de aproximadamente $ 6.69 \times 10^{15} , kg $ e um raio de cerca de $ 8.4 , km $.
Convertendo o raio para metros:
M
E a altura $ h = 1.000 , km = 1.000.000 , m $

Passo 6

Agora, substituímos os valores na equação:
v = raiz2 times 6.674 times 10^-11 , N m^2/kg^2 times 6.69 times 10^15 , kg ( 18.400 , m - 18.400 , m + 1.000.000 , m )
Calculando dentro dos parênteses primeiro:
18.400 - 11.008.400 approx 0.11905 - 0.000992 approx 0.11806 , m^-1

Passo 7

Agora, multiplicamos os valores:
v = raiz2 times 6.674 times 10^-11 times 6.69 times 10^15 times 0.11806
v = raiz2 times 6.674 times 6.69 times 0.11806 times 10^4
v = raiz2 times 6.674 times 6.69 times 0.11806 times 10^2
Calculando os valores numéricos:
2 times 6.674 times 6.69 times 0.11806 approx 10.56
Então:
v = raiz10.56 times 10^2
v approx 3.25 times 10^2 , m/s

Resposta

A velocidade com que o objeto se chocará com o asteroide é aproximadamente 325 metros por segundo.

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