Use algum critério para discutir a redutibilidade ou irredutibilidade:
b) f(x)=x^4+4 x+1 em Q[x]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o polinômio é redutível ou irredutível nos números racionais, ou seja, em . Para isso, vamos usar o Teorema das Raízes Racionais, que nos ajuda a encontrar raízes racionais de um polinômio.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é o Teorema das Raízes Racionais: se é uma raiz racional do polinômio com coeficientes inteiros, então divide o termo constante e divide o coeficiente líder.
No nosso caso, o polinômio é . O termo constante é 1 e o coeficiente líder é 1. Então, as possíveis raízes racionais são .

Passo 3

Vamos testar essas possíveis raízes no polinômio:
Para f(1) = 1^4 + 4 cdot 1 + 1 = 1 + 4 + 1 = 6 neq 0 :
f(-1) = (-1)^4 + 4 cdot (-1) + 1 = 1 - 4 + 1 = -2 neq 0
Para :
Como nenhuma dessas substituições resultou em zero, o polinômio não tem raízes racionais.

Passo 4

Sem raízes racionais, significa que f(x) = (x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d) não pode ser fatorado em polinômios de primeiro grau com coeficientes racionais. Mas ainda pode ser fatorado em polinômios de grau maior, por exemplo, em quadráticos.
Vamos supor que x^4 + (a + c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd possa ser escrito como o produto de dois polinômios quadráticos:
a + c = 0 ac + b + d = 0 ad + bc = 4 bd = 1
Expandindo:
Igualando aos coeficientes de , temos:

Passo 5

Resolvendo esse sistema:
Como a(-a) + b + d = -a^2 + b + d = 0 Rightarrow b + d = a^2 , podemos dizer que b + d = 1 + 1 = 2 = a^2 Rightarrow a^2 = 2 .
Substituindo b + d = -1 + (-1) = -2 = a^2 na segunda equação:
Já na quarta equação, . As possíveis soluções para e são ou .
Vamos testar e :
Como deve ser racional e não é racional, essa opção não funciona.
Agora, testando e :
Isso não tem solução real, já que não pode ser negativo. Portanto, não há fatores quadráticos com coeficientes racionais.

Resposta

Como não encontramos fatores lineares ou quadráticos com coeficientes racionais, concluímos que o polinômio é irredutível em .

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