(a) Qual é a velocidade transversal vy do elemento da corda situado no ponto x=22,5 cm no instante t=18,9 s ? (Essa velocidade, associada à oscilação transversal de um elemento da corda, é uma velocidade na direção y que varia com o tempo e não deve ser confundida com v , a velocidade constante com a qual a forma da onda se propaga na direção x.)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um elemento de uma corda localizado no ponto e queremos descobrir a sua velocidade transversal no instante . O assunto aqui é ondas transversais em cordas. Para resolver isso, vamos precisar da equação da onda, que descreve como a corda se movimenta no tempo e no espaço.

Passo 2

Uma onda transversal em uma corda pode ser descrita por uma função matemática que mostra a posição vertical y(x, t) = Ym sin(kx - omega t + phi) de cada ponto da corda em função de e . A forma geral dessa função é:
Aqui:
  • é a amplitude da onda, ou a máxima deslocação vertical.
  • é o número de onda, relacionado ao comprimento de onda pela fórmula .
  • é a frequência angular, relacionada ao período pela fórmula .
  • é a fase inicial da onda.

Passo 3

A velocidade transversal vy = partial ypartial t de um elemento da corda é a taxa de variação da posição vertical em relação ao tempo . Ou seja, é a derivada de em relação a :
Vamos calcular essa derivada usando a função da onda que escrevemos.

Passo 4

Derivando vy = partial ypartial t = -Ym omega cos(kx - omega t + phi) em relação ao tempo :
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar a função seno, que resulta em um cosseno multiplicado pelo coeficiente da variável dentro do seno.

Passo 5

Agora, para encontrar a velocidade transversal no ponto específico vy = -Ym omega cos(k cdot 22,5 , cm - omega cdot 18,9 , s + phi) e no instante , substituímos esses valores na expressão que encontramos:
Aqui, , , e devem ser conhecidos ou fornecidos para calcular um valor numérico específico. Se esses parâmetros não forem fornecidos, a resposta ficará em termos dessas variáveis.

Resposta

A velocidade transversal do elemento da corda no ponto vy = -Ym omega cos(k cdot 22,5,cm - omega cdot 18,9,s + phi) no instante é:

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