(a) Qual é a velocidade transversal
do elemento da corda situado no ponto
no instante
? (Essa velocidade, associada à oscilação transversal de um elemento da corda, é uma velocidade na direção y que varia com o tempo e não deve ser confundida com v , a velocidade constante com a qual a forma da onda se propaga na direção x.)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um elemento de uma corda localizado no ponto
e queremos descobrir a sua velocidade transversal
no instante
. O assunto aqui é ondas transversais em cordas. Para resolver isso, vamos precisar da equação da onda, que descreve como a corda se movimenta no tempo e no espaço.
Passo 2
Uma onda transversal em uma corda pode ser descrita por uma função matemática que mostra a posição vertical
de cada ponto da corda em função de
e
. A forma geral dessa função é:
Aqui:
-
é a amplitude da onda, ou a máxima deslocação vertical. -
é o número de onda, relacionado ao comprimento de onda pela fórmula . -
é a frequência angular, relacionada ao período pela fórmula . -
é a fase inicial da onda.
Passo 3
A velocidade transversal
de um elemento da corda é a taxa de variação da posição vertical
em relação ao tempo
. Ou seja, é a derivada de
em relação a
:
Vamos calcular essa derivada usando a função da onda que escrevemos.
Passo 4
Derivando
em relação ao tempo
:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar a função seno, que resulta em um cosseno multiplicado pelo coeficiente da variável dentro do seno.
Passo 5
Agora, para encontrar a velocidade transversal no ponto específico
e no instante
, substituímos esses valores na expressão que encontramos:
Aqui,
,
,
e
devem ser conhecidos ou fornecidos para calcular um valor numérico específico. Se esses parâmetros não forem fornecidos, a resposta ficará em termos dessas variáveis.
Resposta
A velocidade transversal do elemento da corda no ponto
no instante
é: