Verdadeiro ou contra-exemplo: A sequência
converge se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, a gente tem que analisar se a afirmação "A sequência
converge se, e somente se,
" é verdadeira ou não. Vamos precisar entender sobre convergência de sequências e limites, além de usar contra-exemplos para testar a afirmação.
Passo 2
Primeiro, vamos ver a direção "se a sequência converge, então
". Suponha que a sequência
converge para algum número
. Isso significa que tanto
quanto
se aproximam de
quando
fica muito grande.
Então, a diferença entre eles fica:
Então, essa parte da afirmação está correta: se a sequência converge, a diferença entre termos consecutivos tende a zero.
Passo 3
Agora, vamos olhar a outra direção “se
, então a sequência converge”. Aqui a gente precisa verificar se essa condição é suficiente para garantir a convergência.
Passo 4
Para testar isso, vamos pensar em um contra-exemplo. Considere a sequência
.
Calculando a diferença entre termos consecutivos:
Então, de fato,
. Mas a sequência
não converge; na verdade, ela tende ao infinito.
Resposta
A afirmação é falsa. Embora toda sequência que converge satisfaça
, o contrário não é verdadeiro. Existem sequências que têm a diferença entre termos consecutivos tendendo a zero, mas que não convergem, como o exemplo da sequência
.
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Responda: O que é uma sequência?
Obtenha a derivada das funções abaixo:
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