Verdadeiro ou contra-exemplo: A sequência (an) converge se, e somente se, lim n infty|an+1-an|=0.

Passo 1

Beleza, a gente tem que analisar se a afirmação "A sequência converge se, e somente se, " é verdadeira ou não. Vamos precisar entender sobre convergência de sequências e limites, além de usar contra-exemplos para testar a afirmação.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a direção "se a sequência converge, então limn infty |an+1 - an| = |L - L| = 0 ". Suponha que a sequência converge para algum número . Isso significa que tanto quanto se aproximam de quando fica muito grande.
Então, a diferença entre eles fica:
Então, essa parte da afirmação está correta: se a sequência converge, a diferença entre termos consecutivos tende a zero.

Passo 3

Agora, vamos olhar a outra direção “se , então a sequência converge”. Aqui a gente precisa verificar se essa condição é suficiente para garantir a convergência.

Passo 4

Para testar isso, vamos pensar em um contra-exemplo. Considere a sequência an+1 - an = raizn+1 - raizn = 1raizn+1 + raizn 0 quando n infty .
Calculando a diferença entre termos consecutivos:
Então, de fato, . Mas a sequência não converge; na verdade, ela tende ao infinito.

Resposta

A afirmação é falsa. Embora toda sequência que converge satisfaça , o contrário não é verdadeiro. Existem sequências que têm a diferença entre termos consecutivos tendendo a zero, mas que não convergem, como o exemplo da sequência .

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