Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
29. Se o domínio de for o plano , então o domínio de será o intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa. O enunciado diz:
“Se o domínio de for o plano , então o domínio de será o intervalo [0,1].”
Aqui, estamos lidando com domínios de funções e composição de funções. Para resolver isso, precisamos entender quais valores de tornam as funções e válidas, já que está definida para todos os e no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . A função arco seno está definida para valores de onde está entre -1 e 1, ou seja:
Isso porque o seno de um ângulo só pode resultar em valores dentro desse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função . A raiz quadrada de está definida apenas para valores de que são maiores ou iguais a 0:
Isso ocorre porque não podemos extrair a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.

Passo 4

Para que ambas as funções e estejam definidas simultaneamente, precisamos encontrar os valores de que satisfazem ambas as condições:
Quando combinamos essas duas condições, buscamos a interseção dos intervalos, ou seja, os valores de que estão tanto entre -1 e 1 como maiores ou iguais a 0.

Passo 5

A interseção das condições e é:
Portanto, o domínio de é o intervalo [0,1].

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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