Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. g) (
é irredutível em
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é o polinômio
e a pergunta é: esse polinômio é irredutível em
? Isso quer dizer, a gente quer saber se ele pode ou não ser decomposto em polinômios de grau menor com coeficientes racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre irreducibilidade de polinômios e alguns teoremas que ajudam nessa análise.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um polinômio ser irredutível. Um polinômio é irredutível sobre
se ele não pode ser fatorado em polinômios de grau menor com coeficientes racionais. Ou seja, não existe nenhum polinômio de grau menor que 6 com coeficientes racionais que multiplica para dar
.
Passo 3
Um jeito comum de verificar se um polinômio é irredutível é usando o Teorema de Eisenstein, mas ele não se aplica diretamente aqui. Então, vamos pensar em outra abordagem. Sabemos que
pode ser reescrito como
, já que é uma soma geométrica.
Passo 4
Sabendo disso, percebemos que
está relacionada aos polinômios ciclotômios, que são conhecidos por sua irreducibilidade sobre
. O polinômio ciclotômio de ordem 7 é exatamente
, e por propriedades dos polinômios ciclotômios, sabemos que eles são irredutíveis sobre os racionais.
Passo 5
Além disso, podemos verificar que
não tem raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que possíveis raízes seriam divisores do termo independente sobre divisores do coeficiente líder. Nesse caso, as únicas possibilidades seriam
, mas ao testar, vemos que nem
nem
são iguais a zero, confirmando que não há raízes racionais.
Passo 6
Como não encontramos fatores racionais e sabemos que
é um polinômio ciclotômio irredutível, podemos concluir que ele é realmente irredutível em
.
Resposta
Verdadeiro (V). O polinômio
é irredutível em
.
Exercícios relacionados
Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. c) ( ) O polinômio
é múltiplo de
.
Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. h) ( ) Seja K um corpo. Se a
é irredutível então o seu inverso aditivo também é irredutível.
Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. i) ( ) Sejam
um corpo,
e
. Prove que se
é irredutível sobre
, então
é irredutível sobre
.