Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. g) ( f(x) = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 é irredutível em Q[x].

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é o polinômio e a pergunta é: esse polinômio é irredutível em ? Isso quer dizer, a gente quer saber se ele pode ou não ser decomposto em polinômios de grau menor com coeficientes racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre irreducibilidade de polinômios e alguns teoremas que ajudam nessa análise.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um polinômio ser irredutível. Um polinômio é irredutível sobre se ele não pode ser fatorado em polinômios de grau menor com coeficientes racionais. Ou seja, não existe nenhum polinômio de grau menor que 6 com coeficientes racionais que multiplica para dar .

Passo 3

Um jeito comum de verificar se um polinômio é irredutível é usando o Teorema de Eisenstein, mas ele não se aplica diretamente aqui. Então, vamos pensar em outra abordagem. Sabemos que pode ser reescrito como , já que é uma soma geométrica.

Passo 4

Sabendo disso, percebemos que está relacionada aos polinômios ciclotômios, que são conhecidos por sua irreducibilidade sobre . O polinômio ciclotômio de ordem 7 é exatamente , e por propriedades dos polinômios ciclotômios, sabemos que eles são irredutíveis sobre os racionais.

Passo 5

Além disso, podemos verificar que não tem raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que possíveis raízes seriam divisores do termo independente sobre divisores do coeficiente líder. Nesse caso, as únicas possibilidades seriam , mas ao testar, vemos que nem nem são iguais a zero, confirmando que não há raízes racionais.

Passo 6

Como não encontramos fatores racionais e sabemos que é um polinômio ciclotômio irredutível, podemos concluir que ele é realmente irredutível em .

Resposta

Verdadeiro (V). O polinômio é irredutível em .

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