Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. a) ( ) Se f é redutível sobre K[x] então f admite raiz em K.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: "Se é redutível sobre então admite raiz em ". Aqui, estamos lidando com polinômios sobre um campo . Precisamos entender o que significa um polinômio ser redutível e como isso está relacionado com a existência de raízes no campo .

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é um polinômio redutível. Um polinômio em é redutível se ele pode ser escrito como o produto de dois polinômios não constantes em . Ou seja, existem tais que , onde ambos e têm grau menor que .

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa que admite uma raiz em . Isso quer dizer que existe um elemento tal que . Se isso acontecer, será um fator de , ou seja, pode ser escrito como , onde é outro polinômio em .

Passo 4

A afirmação sugere que se é redutível, então necessariamente ele tem uma raiz em . No entanto, isso nem sempre é verdade. Um polinômio pode ser redutível sem ter fatores lineares. Isso depende de . Por exemplo, no campo , o polinômio é irredutível, mas se considerarmos , ele se fatoraria como , então no campo dos complexos, ele admite raízes.

Passo 5

Portanto, a afirmação não é verdadeira em geral. A existência de raízes depende se o polinômio pode ser fatorado em fatores lineares no campo , o que nem sempre acontece apenas porque o polinômio é redutível.

Resposta

Falso. Um polinômio redutível nem sempre possui uma raiz em .

Exercícios relacionados