Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. a) ( ) Se f é redutível sobre
então
admite raiz em
.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: "Se
é redutível sobre
então
admite raiz em
". Aqui, estamos lidando com polinômios sobre um campo
. Precisamos entender o que significa um polinômio ser redutível e como isso está relacionado com a existência de raízes no campo
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é um polinômio redutível. Um polinômio
em
é redutível se ele pode ser escrito como o produto de dois polinômios não constantes em
. Ou seja, existem
tais que
, onde ambos
e
têm grau menor que
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa que
admite uma raiz em
. Isso quer dizer que existe um elemento
tal que
. Se isso acontecer,
será um fator de
, ou seja,
pode ser escrito como
, onde
é outro polinômio em
.
Passo 4
A afirmação sugere que se
é redutível, então necessariamente ele tem uma raiz em
. No entanto, isso nem sempre é verdade. Um polinômio pode ser redutível sem ter fatores lineares. Isso depende de
. Por exemplo, no campo
, o polinômio
é irredutível, mas se considerarmos
, ele se fatoraria como
, então no campo dos complexos, ele admite raízes.
Passo 5
Portanto, a afirmação não é verdadeira em geral. A existência de raízes depende se o polinômio pode ser fatorado em fatores lineares no campo
, o que nem sempre acontece apenas porque o polinômio é redutível.
Resposta
Falso. Um polinômio redutível nem sempre possui uma raiz em
.