Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. h) ( ) Seja K um corpo. Se a
é irredutível então o seu inverso aditivo também é irredutível.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação diz: “Seja
um corpo. Se
é irredutível, então o seu inverso aditivo também é irredutível.” Estamos trabalhando com álgebra abstrata, especificamente com a teoria de corpos e elementos irredutíveis. Para resolver isso, precisamos entender o que significa um elemento ser irredutível em um corpo e como o inverso aditivo desse elemento se comporta.
Passo 2
Vamos revisar alguns conceitos importantes. Um corpo é uma estrutura algébrica onde você pode adicionar, subtrair, multiplicar e dividir (exceto por zero). Em um corpo, todo elemento não nulo é unitário, ou seja, possui um inverso multiplicativo.
Um elemento irredutível em um corpo, na verdade, não é um conceito comum, pois em corpos todos os elementos não nulos são invertíveis. Porém, se considerarmos um anel ou uma estrutura similar, um elemento é irredutível se ele não pode ser escrito como o produto de dois elementos não invertíveis.
Passo 3
Agora, vamos focar no inverso aditivo. O inverso aditivo de um elemento
é o elemento
tal que
. Em qualquer estrutura que permita adição, o inverso aditivo sempre existe e mantém certas propriedades do elemento original.
Passo 4
No contexto da afirmação, se
é irredutível em
, queremos saber se
também é irredutível. Como a definição de irredutível está relacionada à incapacidade de fatoração em elementos não invertíveis, e os inversos aditivos não afetam a multiplicação ou a fatoração, o status de irredutibilidade de
deve se manter para
.
Passo 5
Portanto, se
é irredutível,
compartilha essa propriedade porque a operação de inverso aditivo não altera a capacidade de
de ser fatorado ou não em elementos não invertíveis.
Resposta
Verdadeiro.
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é irredutível em
.
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um corpo,
e
. Prove que se
é irredutível sobre
, então
é irredutível sobre
.
Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. j) ( ) Seja K um corpo,
e
. Mostre
é raiz de
se, e somente se,
.