Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. h) ( ) Seja K um corpo. Se a é irredutível então o seu inverso aditivo também é irredutível.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação diz: “Seja um corpo. Se é irredutível, então o seu inverso aditivo também é irredutível.” Estamos trabalhando com álgebra abstrata, especificamente com a teoria de corpos e elementos irredutíveis. Para resolver isso, precisamos entender o que significa um elemento ser irredutível em um corpo e como o inverso aditivo desse elemento se comporta.

Passo 2

Vamos revisar alguns conceitos importantes. Um corpo é uma estrutura algébrica onde você pode adicionar, subtrair, multiplicar e dividir (exceto por zero). Em um corpo, todo elemento não nulo é unitário, ou seja, possui um inverso multiplicativo.
Um elemento irredutível em um corpo, na verdade, não é um conceito comum, pois em corpos todos os elementos não nulos são invertíveis. Porém, se considerarmos um anel ou uma estrutura similar, um elemento é irredutível se ele não pode ser escrito como o produto de dois elementos não invertíveis.

Passo 3

Agora, vamos focar no inverso aditivo. O inverso aditivo de um elemento é o elemento tal que . Em qualquer estrutura que permita adição, o inverso aditivo sempre existe e mantém certas propriedades do elemento original.

Passo 4

No contexto da afirmação, se é irredutível em , queremos saber se também é irredutível. Como a definição de irredutível está relacionada à incapacidade de fatoração em elementos não invertíveis, e os inversos aditivos não afetam a multiplicação ou a fatoração, o status de irredutibilidade de deve se manter para .

Passo 5

Portanto, se é irredutível, compartilha essa propriedade porque a operação de inverso aditivo não altera a capacidade de de ser fatorado ou não em elementos não invertíveis.

Resposta

Verdadeiro.

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Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. g) ( é irredutível em .
Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. i) ( ) Sejam um corpo, e . Prove que se é irredutível sobre , então é irredutível sobre .
Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. j) ( ) Seja K um corpo, e . Mostre é raiz de se, e somente se, .