Verificar quais das aplicações de R^3 em R^3 são operadores lineares :
b) F(x, y, z)=(2 x, y+z, x-y-z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a função definida por é um operador linear. Isso significa que a gente precisa confirmar se respeita duas propriedades fundamentais de operadores lineares: adição e escalamento. Para isso, vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, lembra o que é um operador linear? Basicamente, uma função é linear se, para quaisquer vetores e em e qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Escalamento:
Vamos testar essas propriedades com a função dada.

Passo 3

Vamos começar com a adição. Seja u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e F(u + v) = (2(x1 + x2), (y1 + y2) + (z1 + z2), (x1 + x2) - (y1 + y2) - (z1 + z2)) . Então:
= (2x1 + 2x2, y1 + y2 + z1 + z2, x1 + x2 - y1 - y2 - z1 - z2)
Aplicando F(u) = (2x1, y1 + z1, x1 - y1 - z1) nessa soma:
F(v) = (2x2, y2 + z2, x2 - y2 - z2)
F(u) + F(v) = (2x1 + 2x2, y1 + z1 + y2 + z2, x1 - y1 - z1 + x2 - y2 - z2)
Agora, vamos ver = (2x1 + 2x2, y1 + y2 + z1 + z2, x1 + x2 - y1 - y2 - z1 - z2) :
Vemos que , então a propriedade de adição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a propriedade de escalamento. Seja cu = (cx, cy, cz) um escalar e F(cu) = (2(cx), cy + cz, cx - cy - cz) . Então:
= (2c x, c(y + z), c(x - y - z))
Aplicando F(u) = (2x, y + z, x - y - z) nesse vetor escalado:
cF(u) = (c cdot 2x, c(y + z), c(x - y - z))
= (2c x, c(y + z), c(x - y - z))
Agora, vamos ver :
Comparando, temos que , então a propriedade de escalamento também est�� satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz tanto a propriedade de adição quanto a de escalamento, ela é um operador linear.

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