Verificar quais das aplicações de em são operadores lineares :
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a função definida por é um operador linear. Isso significa que a gente precisa confirmar se respeita duas propriedades fundamentais de operadores lineares: adição e escalamento. Para isso, vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, lembra o que é um operador linear? Basicamente, uma função é linear se, para quaisquer vetores e em e qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Escalamento:
Vamos testar essas propriedades com a função dada.

Passo 3

Vamos começar com a adição. Seja e . Então:
Aplicando nessa soma:
Agora, vamos ver :
Vemos que , então a propriedade de adição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a propriedade de escalamento. Seja um escalar e . Então:
Aplicando nesse vetor escalado:
Agora, vamos ver :
Comparando, temos que , então a propriedade de escalamento também est�� satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz tanto a propriedade de adição quanto a de escalamento, ela é um operador linear.

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f) definida por
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c) definida por
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d)
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a)