Verificar quais das aplicações de
em
são operadores lineares :
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a função
definida por
é um operador linear. Isso significa que a gente precisa confirmar se
respeita duas propriedades fundamentais de operadores lineares: adição e escalamento. Para isso, vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, lembra o que é um operador linear? Basicamente, uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e
em
e qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Adição:
- Escalamento:
Vamos testar essas propriedades com a função dada.
Passo 3
Vamos começar com a adição. Seja
e
. Então:
Aplicando
nessa soma:
Agora, vamos ver
:
Vemos que
, então a propriedade de adição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a propriedade de escalamento. Seja
um escalar e
. Então:
Aplicando
nesse vetor escalado:
Agora, vamos ver
:
Comparando, temos que
, então a propriedade de escalamento também est�� satisfeita.
Resposta
Como a função
satisfaz tanto a propriedade de adição quanto a de escalamento, ela é um operador linear.
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d)
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a)