Verificar se as aplicações são transformações lineares:
f)
definida por
f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma certa aplicação é uma transformação linear. A aplicação é a função
definida por
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define uma transformação linear, que são duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Vamos verificar se a função
satisfaz essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos ver a propriedade de aditividade. Isso significa que para quaisquer vetores
e
em
, a aplicação deve satisfazer:
Vamos calcular
:
Simplificando:
Agora, vamos calcular
:
Somando:
Que é igual a:
Então, vimos que:
Ou seja, a propriedade de aditividade está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar a propriedade de homogeneidade. Isso significa que para qualquer vetor
em
e qualquer escalar
em
, a aplicação deve satisfazer:
Vamos calcular
:
Agora, calculamos
:
Multiplicando por
:
Então, vimos que:
Ou seja, a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como a aplicação
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma transformação linear.
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em
são operadores lineares :
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