Verificar se as aplicações são transformações lineares:
f) definida por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma certa aplicação é uma transformação linear. A aplicação é a função definida por . Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define uma transformação linear, que são duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Vamos verificar se a função satisfaz essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a propriedade de aditividade. Isso significa que para quaisquer vetores e em , a aplicação deve satisfazer:
Vamos calcular :
Simplificando:
Agora, vamos calcular :
Somando:
Que é igual a:
Então, vimos que:
Ou seja, a propriedade de aditividade está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar a propriedade de homogeneidade. Isso significa que para qualquer vetor em e qualquer escalar em , a aplicação deve satisfazer:
Vamos calcular :
Agora, calculamos :
Multiplicando por :
Então, vimos que:
Ou seja, a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como a aplicação satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma transformação linear.

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b)
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d)