Verificar se as aplicações são transformações lineares:
f) P: R^2 R^3 definida por P(x, y)=(x-y, y-x, x+y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma certa aplicação é uma transformação linear. A aplicação é a função definida por . Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define uma transformação linear, que são duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Vamos verificar se a função satisfaz essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a propriedade de aditividade. Isso significa que para quaisquer vetores P(u + v) = P(u) + P(v) e u + v = (x1 + x2, y1 + y2) em P(u + v) = ((x1 + x2) - (y1 + y2), (y1 + y2) - (x1 + x2), (x1 + x2) + (y1 + y2)) , a aplicação deve satisfazer:
P(u + v) = (x1 + x2 - y1 - y2, y1 + y2 - x1 - x2, x1 + x2 + y1 + y2)
Vamos calcular P(u) = (x1 - y1, y1 - x1, x1 + y1) :
P(v) = (x2 - y2, y2 - x2, x2 + y2)
P(u) + P(v) = (x1 - y1 + x2 - y2, y1 - x1 + y2 - x2, x1 + y1 + x2 + y2)
Simplificando:
(x1 + x2 - y1 - y2, y1 + y2 - x1 - x2, x1 + x2 + y1 + y2)
Agora, vamos calcular P(u + v) = P(u) + P(v) :
Somando:
Que é igual a:
Então, vimos que:
Ou seja, a propriedade de aditividade está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar a propriedade de homogeneidade. Isso significa que para qualquer vetor P(cu) = cP(u) em cu = (cx, cy) e qualquer escalar P(cu) = (cx - cy, cy - cx, cx + cy) em P(u) = (x - y, y - x, x + y) , a aplicação deve satisfazer:
cP(u) = (c(x - y), c(y - x), c(x + y)) = (cx - cy, cy - cx, cx + cy)
Vamos calcular P(cu) = cP(u) :
Agora, calculamos :
Multiplicando por :
Então, vimos que:
Ou seja, a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como a aplicação satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma transformação linear.

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