Verificar quais das aplicações de em são operadores lineares :
d)

Passo 1

Vamos analisar a aplicação definida por . Nosso objetivo é verificar se essa aplicação é um operador linear. Para isso, precisamos lembrar o que caracteriza um operador linear e quais propriedades devemos verificar.

Passo 2

Um operador linear deve satisfazer duas propriedades fundamentais:
  1. Aditividade: Para quaisquer vetores e em , .
  2. Homogeneidade: Para qualquer escalar e vetor em , .
Além disso, um operador linear deve satisfazer .

Passo 3

Vamos verificar essas propriedades para a aplicação :
1. Verificando :
Se , então:
Já aqui vemos que , o que significa que a aplicação não é linear.

Resposta

A aplicação não é um operador linear.

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Verificar quais das aplicações de em são operadores lineares :
b)
Verificar se as aplicações são transformações lineares:
f) definida por
Verificar quais das aplicações de em são operadores lineares.
a)
Verificar quais das aplicações de em são operadores lineares.
b)