Verificar quais das aplicações de
em
são operadores lineares :
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a aplicação
definida por
é um operador linear. Isso está ligado ao estudo de álgebra linear, especificamente sobre o que caracteriza uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender os princípios que definem se uma função é linear, ou seja, se ela preserva as operações de adição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um operador linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e
em
e para qualquer escalar
, as seguintes duas condições são satisfeitas:
- Adição Vetorial:
- Multiplicação por Escalar:
Vamos verificar essas duas condições para a função dada
.
Passo 3
Verificando a Adição Vetorial
Sejam
e
. Primeiro, calculamos
:
Agora, aplicamos a função
nessa soma:
Em seguida, aplicamos a função
individualmente nos vetores
e
:
Observamos que:
Então, a primeira condição de linearidade está satisfeita.
Passo 4
Verificando a Multiplicação por Escalar
Vamos agora verificar a segunda condição. Seja
um escalar qualquer e
. Primeiro, calculamos
:
Aplicando a função
nesse vetor escalado:
Agora, aplicamos o escalar
na imagem de
pela função
:
Comparando os dois resultados:
Portanto, a segunda condição de linearidade também está satisfeita.
Resposta
Como ambas as condições de linearidade (adição vetorial e multiplicação por escalar) são satisfeitas, a aplicação
é um operador linear.
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c)