Verificar quais das aplicações de R^3 em R^3 são operadores lineares :
c) F(x, y, z)=(0, y, z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a aplicação definida por é um operador linear. Isso está ligado ao estudo de álgebra linear, especificamente sobre o que caracteriza uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender os princípios que definem se uma função é linear, ou seja, se ela preserva as operações de adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um operador linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e em e para qualquer escalar , as seguintes duas condições são satisfeitas:
  1. Adição Vetorial:
  2. Multiplicação por Escalar:
Vamos verificar essas duas condições para a função dada .

Passo 3

Verificando a Adição Vetorial
Sejam u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e F(u + v) = F(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (0, y1 + y2, z1 + z2) . Primeiro, calculamos F(u) = (0, y1, z1) :
F(v) = (0, y2, z2)
Agora, aplicamos a função F(u) + F(v) = (0 + 0, y1 + y2, z1 + z2) = (0, y1 + y2, z1 + z2) nessa soma:
F(u + v) = F(u) + F(v)
Em seguida, aplicamos a função individualmente nos vetores e :
Observamos que:
Então, a primeira condição de linearidade está satisfeita.

Passo 4

Verificando a Multiplicação por Escalar
Vamos agora verificar a segunda condição. Seja cu = (cx, cy, cz) um escalar qualquer e F(cu) = F(cx, cy, cz) = (0, cy, cz) . Primeiro, calculamos F(u) = (0, y, z) :
cF(u) = c(0, y, z) = (0, cy, cz)
Aplicando a função F(cu) = cF(u) nesse vetor escalado:
Agora, aplicamos o escalar na imagem de pela função :
Comparando os dois resultados:
Portanto, a segunda condição de linearidade também está satisfeita.

Resposta

Como ambas as condições de linearidade (adição vetorial e multiplicação por escalar) são satisfeitas, a aplicação é um operador linear.

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c) F(x, y)=(3 y, 0)