Verificar se as aplicações são transformações lineares:
d)
definida por
d)
Passo 1
Beleza, bora lá! A gente precisa verificar se a aplicação
definida por
é uma transformação linear. Para isso, vamos lembrar que uma transformação é linear se ela respeita duas propriedades principais: adição de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, precisamos checar se
e se
, onde
e
são vetores em
e
é um escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos testar a adição de vetores. Se escolhermos dois vetores quaisquer
e
, a soma deles é
.
Agora, aplicando a transformação
nessa soma:
Simplificando:
Agora, vamos calcular
:
Somando os resultados:
Vendo bem, os dois resultados são iguais:
Então, a transformação
respeita a adição de vetores.
Passo 3
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Escolha um escalar
e um vetor
. Multiplicando o vetor por
, temos:
Aplicando a transformação
nesse vetor escalado:
Simplificando:
Então, também temos que:
Assim, a transformação
respeita a multiplicação por escalar.
Resposta
Como
respeita tanto a adição de vetores quanto a multiplicação por escalar, podemos concluir que
é uma transformação linear.