Verificar se as aplicações são transformações lineares:
d) S: R^2 R^2 definida por S(x, y)=(x+y, 2 x-y)

Passo 1

Beleza, bora lá! A gente precisa verificar se a aplicação definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos lembrar que uma transformação é linear se ela respeita duas propriedades principais: adição de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, precisamos checar se e se , onde e são vetores em e é um escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos testar a adição de vetores. Se escolhermos dois vetores quaisquer S(u + v) = S(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + (y1 + y2),, 2(x1 + x2) - (y1 + y2)) e = (x1 + x2 + y1 + y2,, 2x1 + 2x2 - y1 - y2) , a soma deles é S(u) = (x1 + y1,, 2x1 - y1) .
Agora, aplicando a transformação S(v) = (x2 + y2,, 2x2 - y2) nessa soma:
S(u) + S(v) = (x1 + y1 + x2 + y2,, 2x1 - y1 + 2x2 - y2)
Simplificando:
= (x1 + x2 + y1 + y2,, 2x1 + 2x2 - y1 - y2)
Agora, vamos calcular S(u + v) = S(u) + S(v) :
Somando os resultados:
Vendo bem, os dois resultados são iguais:
Então, a transformação respeita a adição de vetores.

Passo 3

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Escolha um escalar cu = (cx, cy) e um vetor S(cu) = S(cx, cy) = (cx + cy,, 2(cx) - cy) . Multiplicando o vetor por = (c(x + y),, 2c x - c y) , temos:
= c(x + y,, 2x - y)
Aplicando a transformação = c cdot S(x, y) nesse vetor escalado:
= c S(u)
Simplificando:
S(cu) = c S(u)
Então, também temos que:
Assim, a transformação respeita a multiplicação por escalar.

Resposta

Como respeita tanto a adição de vetores quanto a multiplicação por escalar, podemos concluir que é uma transformação linear.

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