Verificar se as aplicações são transformações lineares:
d) definida por

Passo 1

Beleza, bora lá! A gente precisa verificar se a aplicação definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos lembrar que uma transformação é linear se ela respeita duas propriedades principais: adição de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, precisamos checar se e se , onde e são vetores em e é um escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos testar a adição de vetores. Se escolhermos dois vetores quaisquer e , a soma deles é .
Agora, aplicando a transformação nessa soma:
Simplificando:
Agora, vamos calcular :
Somando os resultados:
Vendo bem, os dois resultados são iguais:
Então, a transformação respeita a adição de vetores.

Passo 3

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Escolha um escalar e um vetor . Multiplicando o vetor por , temos:
Aplicando a transformação nesse vetor escalado:
Simplificando:
Então, também temos que:
Assim, a transformação respeita a multiplicação por escalar.

Resposta

Como respeita tanto a adição de vetores quanto a multiplicação por escalar, podemos concluir que é uma transformação linear.

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b) definida por
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D)
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e) definida por
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c)