Verificar se as aplicações são transformações lineares:
e)
definida por
e)
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma questão de Transformações Lineares, que é um tópico de Álgebra Linear. A gente precisa verificar se a aplicação
definida por
é uma transformação linear. Para resolver isso, vamos checar se
satisfaz as duas propriedades fundamentais das transformações lineares: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos ver a aditividade. Isso significa que para quaisquer vetores
e
em
, a aplicação
deve satisfazer:
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.
Calculando
:
Calculando
:
Como vemos,
. Portanto, a aplicação
satisfaz a propriedade da aditividade.
Passo 3
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso quer dizer que para qualquer vetor
em
e qualquer escalar
, a aplicação
deve satisfazer:
Vamos calcular cada lado.
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a aplicação
também satisfaz a propriedade da homogeneidade.
Resposta
Sim, a aplicação
é uma transformação linear.
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d)
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b)
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em
são operadores lineares :
c)
c)
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em
são operadores lineares :
e)
e)