Verificar se as aplicações são transformações lineares:
e) W: R^3 R^3 definida por W(x, y, z)=(x-y, y-z, z)

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma questão de Transformações Lineares, que é um tópico de Álgebra Linear. A gente precisa verificar se a aplicação definida por é uma transformação linear. Para resolver isso, vamos checar se satisfaz as duas propriedades fundamentais das transformações lineares: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a aditividade. Isso significa que para quaisquer vetores W(u + v) = W(u) + W(v) e u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) em W(u + v) = ((x1 + x2) - (y1 + y2), (y1 + y2) - (z1 + z2), z1 + z2) , a aplicação = (x1 - y1 + x2 - y2, y1 - z1 + y2 - z2, z1 + z2) deve satisfazer:
W(u) = (x1 - y1, y1 - z1, z1)
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.
Calculando W(v) = (x2 - y2, y2 - z2, z2) :
W(u) + W(v) = (x1 - y1 + x2 - y2, y1 - z1 + y2 - z2, z1 + z2)
Calculando :
Como vemos, . Portanto, a aplicação satisfaz a propriedade da aditividade.

Passo 3

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso quer dizer que para qualquer vetor W(k u) = k W(u) em k u = (k x, k y, k z) e qualquer escalar W(k u) = (k x - k y, k y - k z, k z) , a aplicação = k (x - y, y - z, z) deve satisfazer:
W(u) = (x - y, y - z, z)
Vamos calcular cada lado.
Calculando k W(u) = k (x - y, y - z, z) = (k (x - y), k (y - z), k z) :
Calculando :
Como , a aplicação também satisfaz a propriedade da homogeneidade.

Resposta

Sim, a aplicação é uma transformação linear.

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