Verificar se as aplicações são transformações lineares:
e) definida por

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma questão de Transformações Lineares, que é um tópico de Álgebra Linear. A gente precisa verificar se a aplicação definida por é uma transformação linear. Para resolver isso, vamos checar se satisfaz as duas propriedades fundamentais das transformações lineares: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a aditividade. Isso significa que para quaisquer vetores e em , a aplicação deve satisfazer:
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.
Calculando :
Calculando :
Como vemos, . Portanto, a aplicação satisfaz a propriedade da aditividade.

Passo 3

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso quer dizer que para qualquer vetor em e qualquer escalar , a aplicação deve satisfazer:
Vamos calcular cada lado.
Calculando :
Calculando :
Como , a aplicação também satisfaz a propriedade da homogeneidade.

Resposta

Sim, a aplicação é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

Verificar se as aplicações são transformações lineares:
d) definida por
Verificar se as aplicações são transformações lineares:
b) definida por
Verificar quais das aplicações de em são operadores lineares :
c)
Verificar quais das aplicações de em são operadores lineares :
e)