Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
c)
;
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a relação
é uma solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por
. Aqui,
é uma constante qualquer. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de equação exata, que nos ajuda a encontrar soluções gerais de EDOs.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação exata. Uma EDO da forma
é exata se existir uma função
tal que
e
. Se a EDO for exata, a solução geral é dada por
.
Passo 3
Vamos verificar se a EDO dada é exata. Na nossa equação:
Para ser exata, deve valer que
.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora que sabemos que a EDO é exata, podemos encontrar a função
cuja derivada parcial em relação a
é
. Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece como constante de integração.
Passo 5
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Integrando
em relação a
:
Desconsideramos a constante
pois já temos a constante na solução geral.
Passo 6
Portanto, a função
é:
E a solução geral da EDO é
, ou seja:
Resposta
Sim, a relação
é a solução geral da EDO
, pois satisfaz a condição de exatidão da equação.
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Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
b) ;
b)
Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
h) ;
h)
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
g) ;
g)
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
i) ;
i)