Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
c) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a relação é uma solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por . Aqui, é uma constante qualquer. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de equação exata, que nos ajuda a encontrar soluções gerais de EDOs.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação exata. Uma EDO da forma é exata se existir uma função tal que e . Se a EDO for exata, a solução geral é dada por .

Passo 3

Vamos verificar se a EDO dada é exata. Na nossa equação:
Para ser exata, deve valer que .
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora que sabemos que a EDO é exata, podemos encontrar a função cuja derivada parcial em relação a é . Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece como constante de integração.

Passo 5

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Integrando em relação a :
Desconsideramos a constante pois já temos a constante na solução geral.

Passo 6

Portanto, a função é:
E a solução geral da EDO é , ou seja:

Resposta

Sim, a relação é a solução geral da EDO , pois satisfaz a condição de exatidão da equação.

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Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
b) ;
Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
h) ;
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
g) ãçãçã;
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
i) ;