Verificar se são unitários os seguintes vetores: u=(1,1,1) e v= (1/√6,-2/√6,1/√6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se os vetores $ \mathbf{u} = (1, 1, 1) $ e $ \mathbf{v} = \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{-2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}} \right) $ são vetores unitários. Isso está dentro da matéria de álgebra vetorial. Para resolver isso, vamos precisar calcular o módulo (ou norma) de cada vetor e ver se esse módulo é igual a 1, que é a condição para um vetor ser unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um vetor unitário. Um vetor unitário é aquele que tem comprimento igual a 1. Ou seja, sua norma (ou módulo) deve ser igual a 1. A fórmula para calcular a norma de um vetor $ \mathbf{w} = (w_1, w_2, w_3) $ é:
w = (w1, w2, w3)
Vamos aplicar essa fórmula para cada vetor.

Passo 3

Vamos começar com o vetor $ \mathbf{u} = (1, 1, 1) $:
u = (1, 1, 1)
Como a norma de $ \mathbf{u} $ é aproximadamente 1,732, que é diferente de 1, concluímos que $ \mathbf{u} $ não é um vetor unitário.

Passo 4

Agora vamos calcular a norma do vetor $ \mathbf{v} = \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{-2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}} \right) $:
v = ( 1raiz6, -2raiz6, 1raiz6 )
Calculando cada termo:
| v | = raiz( 1raiz6 )^2 + ( -2raiz6 )^2 + ( 1raiz6 )^2
Somando:
( 1raiz6 )^2 = 16, ( -2raiz6 )^2 = 46, ( 1raiz6 )^2 = 16
Como a norma de $ \mathbf{v} $ é exatamente 1, isso significa que $ \mathbf{v} $ é um vetor unitário.

Resposta

O vetor $ \mathbf{u} = (1, 1, 1) $ não é unitário, pois seu módulo é aproximadamente 1,732. Já o vetor $ \mathbf{v} = \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{-2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}} \right) $ é um vetor unitário, já que seu módulo é igual a 1.

Exercícios relacionados