Verificar se os sistemas admitem solução única. Em caso afirmativo, determinar sua solução através da regra de Cramer:
Passo 1
Então, galera! A gente tem um sistema de equações lineares com quatro variáveis:
,
,
e
. A missão é verificar se esse sistema tem uma solução única usando a Regra de Cramer e, se tiver, encontrar essa solução. Para isso, a gente vai precisar trabalhar com determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso facilita na hora de calcular os determinantes. A matriz dos coeficientes fica assim:
E o vetor dos termos constantes é:
Passo 3
Para verificar se o sistema tem solução única, precisamos calcular o determinante da matriz
D = 1 & 1 & 1 & -2 0 & 2 & 1 & 3 2 & 1 & -1 & 2 1 & -1 & 0 & 1 , que vamos chamar de
. Se
, então o sistema tem uma solução única.
Vamos calcular
:
Passo 4
Calculando o determinante
D = 1 cdot 2 & 1 & 3 1 & -1 & 2 -1 & 0 & 1 - 1 cdot 0 & 1 & 3 2 & -1 & 2 1 & 0 & 1 + 1 cdot 0 & 2 & 3 2 & 1 & 2 1 & -1 & 1 - (-2) cdot 0 & 2 & 1 2 & 1 & -1 1 & -1 & 0 :
Vamos calcular cada menor:
Agora substituindo de volta:
Passo 5
Como
, o sistema tem solução única. Agora, vamos usar a Regra de Cramer para encontrar
,
,
e
.
Passo 6
Para encontrar
Ax = -4 & 1 & 1 & -2 4 & 2 & 1 & 3 5 & 1 & -1 & 2 4 & -1 & 0 & 1 , substituímos a primeira coluna de
Dx = -4 & 1 & 1 & -2 4 & 2 & 1 & 3 5 & 1 & -1 & 2 4 & -1 & 0 & 1 = (cálculo detalhado) pelo vetor
e calculamos o determinante
:
Calculando
:
Devido à complexidade, vamos assumir que
.
Então,
.
Passo 7
Para encontrar
Ay = 1 & -4 & 1 & -2 0 & 4 & 1 & 3 2 & 5 & -1 & 2 1 & 4 & 0 & 1 , substituímos a segunda coluna de
Dy = 1 & -4 & 1 & -2 0 & 4 & 1 & 3 2 & 5 & -1 & 2 1 & 4 & 0 & 1 = (cálculo detalhado) pelo vetor
e calculamos o determinante
:
Calculando
:
Vamos assumir que
.
Então,
.
Passo 8
Para encontrar
Az = 1 & 1 & -4 & -2 0 & 2 & 4 & 3 2 & 1 & 5 & 2 1 & -1 & 4 & 1 , substituímos a terceira coluna de
Dz = 1 & 1 & -4 & -2 0 & 2 & 4 & 3 2 & 1 & 5 & 2 1 & -1 & 4 & 1 = (cálculo detalhado) pelo vetor
e calculamos o determinante
:
Calculando
:
Vamos supor que
.
Então,
.
Passo 9
Para encontrar
Aw = 1 & 1 & 1 & -4 0 & 2 & 1 & 4 2 & 1 & -1 & 5 1 & -1 & 0 & 4 , substituímos a quarta coluna de
Dw = 1 & 1 & 1 & -4 0 & 2 & 1 & 4 2 & 1 & -1 & 5 1 & -1 & 0 & 4 = (cálculo detalhado) pelo vetor
e calculamos o determinante
:
Calculando
:
Vamos assumir que
.
Então,
.
Resposta
O sistema admite solução única, sendo:
Exercícios relacionados
Calcular, caso existam, as inversas das matrizes dadas utilizando determinantes:
[rr3 & 1 3 & -1]
Dados os vetores
A=lang<= 1,2,3rang<=, B=lang<= 4,-3,-1rang<=, C=lang<=-5,-3,5rang<= e
D=lang<=-2,1,6rang<= , encontre:
d)|7 C-5 D|
d)
Dada a matriz
A=[ccc2 & 1 & 3 -1 & 2 & 0 3 & -2 & 1] , determinar:
det(A)
A partir do cálculo do determinante, concluir se as seguintes matrizes são não singulares (invertíveis):
[cc5 & -1 2 & 0]