Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja em , dada por pela definição.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a transformação , definida por , é linear. Vamos usar os conceitos de transformação linear da álgebra linear para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação dada.

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Sejam e .
Primeiro calculamos .
Aplicando a essa soma:
Agora, calculamos :
Como , a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Seja um escalar e .
Primeiro calculamos .
Aplicando a esse produto:
Como , a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Sim, a transformação é linear.

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