Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja T: R^2 em R^2, dada por T(x, y)=(-x,-y) pela definição.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a transformação , definida por , é linear. Vamos usar os conceitos de transformação linear da álgebra linear para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação dada.

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Sejam T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (-(x1 + x2), -(y1 + y2)) = (-x1 - x2, -y1 - y2) e T(u) + T(v) = (-x1, -y1) + (-x2, -y2) = (-x1 - x2, -y1 - y2) .
Primeiro calculamos .
Aplicando a essa soma:
Agora, calculamos :
Como , a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Seja T(cu) = T(cx, cy) = (-cx, -cy) = c(-x, -y) = cT(u) um escalar e .
Primeiro calculamos .
Aplicando a esse produto:
Como , a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Sim, a transformação é linear.

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