Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja
em
, dada por
pela definição.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a transformação
, definida por
, é linear. Vamos usar os conceitos de transformação linear da álgebra linear para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Aditividade:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação dada.
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Sejam
e
.
Primeiro calculamos
.
Aplicando
a essa soma:
Agora, calculamos
:
Como
, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Seja
um escalar e
.
Primeiro calculamos
.
Aplicando
a esse produto:
Como
, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Sim, a transformação
é linear.