Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja
em
, dada por
, pela definição.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificarmos se a transformação
, definida por
, é linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares e verificar as propriedades que definem uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se satisfaz duas propriedades principais:
- Aditividade: Para quaisquer números reais
e , . - Homogeneidade (ou Escala): Para qualquer número real
, .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a transformação
.
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Vamos pegar dois números reais quaisquer,
e
.
-
Calculamos
: -
Agora, calculamos
:
Como
, a propriedade de aditividade está satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Vamos pegar um número real qualquer
e um número real
.
-
Calculamos
: -
Agora, calculamos
:
Como
, a propriedade de homogeneidade está satisfeita.
Resposta
Como a transformação
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que
é uma transformação linear.