Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja T: R em R, dada por T(x)=3 x, pela definição.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificarmos se a transformação , definida por , é linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares e verificar as propriedades que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: Para quaisquer números reais e , .
  2. Homogeneidade (ou Escala): Para qualquer número real , .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a transformação .

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Vamos pegar dois números reais quaisquer, T(u + v) = 3(u + v) = 3u + 3v e T(u) + T(v) = 3u + 3v .
  • Calculamos :
  • Agora, calculamos :
Como , a propriedade de aditividade está satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Vamos pegar um número real qualquer T(k cdot u) = 3(k cdot u) = k cdot 3u e um número real k cdot T(u) = k cdot 3u .
  • Calculamos :
  • Agora, calculamos :
Como , a propriedade de homogeneidade está satisfeita.

Resposta

Como a transformação satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que é uma transformação linear.

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