Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja T: R^2 em R^3, dada por T(x, y)=(3 x,-2 y, x-y), pela definição.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado. Temos uma transformação definida por . O que a gente precisa fazer é verificar se essa transformação é linear. Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear, especificamente a definição de transformação linear.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que uma transformação é considerada linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Onde e são vetores e é um escalar. Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação .

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em u + v = (x1 + x2, y1 + y2) , digamos T(u + v) = (3(x1 + x2), -2(y1 + y2), (x1 + x2) - (y1 + y2)) e = (3x1 + 3x2, -2y1 - 2y2, x1 + x2 - y1 - y2) .
  1. Calcular T(u) = (3x1, -2y1, x1 - y1) :
T(v) = (3x2, -2y2, x2 - y2)
T(u) + T(v) = (3x1 + 3x2, -2y1 - 2y2, x1 - y1 + x2 - y2)
T(u + v) = T(u) + T(v)
  1. Calcular :
Comparando os dois resultados, vemos que:
Então, a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Agora, vamos verificar se a transformação cu = (c x, c y) satisfaz a propriedade de homogeneidade. Seja T(cu) = (3(c x), -2(c y), c x - c y) um escalar qualquer e = (3c x, -2c y, c(x - y)) .
  1. Calcular T(u) = (3x, -2y, x - y) :
cT(u) = (c cdot 3x, c cdot (-2y), c(x - y))
= (3c x, -2c y, c(x - y))
T(cu) = cT(u)
  1. Calcular :
Comparando os dois resultados novamente, temos:
Portanto, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

A transformação é linear.

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