Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja em , dada por , pela definição.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado. Temos uma transformação definida por . O que a gente precisa fazer é verificar se essa transformação é linear. Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear, especificamente a definição de transformação linear.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que uma transformação é considerada linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Onde e são vetores e é um escalar. Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação .

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em , digamos e .
  1. Calcular :
  1. Calcular :
Comparando os dois resultados, vemos que:
Então, a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Agora, vamos verificar se a transformação satisfaz a propriedade de homogeneidade. Seja um escalar qualquer e .
  1. Calcular :
  1. Calcular :
Comparando os dois resultados novamente, temos:
Portanto, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

A transformação é linear.

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Dados os vetores e , calcule:
Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja : em , dada por , pelas propriedades.
Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja em , dada por , usando os vetores e o escalar .