Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja
em
, dada por
, pela definição.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado. Temos uma transformação
definida por
. O que a gente precisa fazer é verificar se essa transformação é linear. Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear, especificamente a definição de transformação linear.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que uma transformação
é considerada linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Onde
e
são vetores e
é um escalar. Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação
.
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
, digamos
e
.
- Calcular
:
- Calcular
:
Comparando os dois resultados, vemos que:
Então, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Agora, vamos verificar se a transformação
satisfaz a propriedade de homogeneidade. Seja
um escalar qualquer e
.
- Calcular
:
- Calcular
:
Comparando os dois resultados novamente, temos:
Portanto, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
A transformação
é linear.
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Dados os vetores
e
, calcule:
Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja
:
em
, dada por
, pelas propriedades.
Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja
em
, dada por
, usando os vetores
e o escalar
.