Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja T : R^2 em R^3, dada por T(x, y)=(x-y, 2 x+y, 0), pelas propriedades.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para verificar se uma transformação é linear. A transformação é dada por e vai de pra . Para resolver isso, a gente precisa saber o que define uma transformação linear. Vamos precisar entender as propriedades de aditividade e homogeneidade que caracterizam as transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para todos os vetores no domínio.
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e para todo vetor no domínio.
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação .

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Sejam T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) - (y1 + y2), 2(x1 + x2) + (y1 + y2), 0) e = (x1 + x2 - y1 - y2, 2x1 + 2x2 + y1 + y2, 0) . Então,
T(u) = (x1 - y1, 2x1 + y1, 0)
Simplificando,
T(v) = (x2 - y2, 2x2 + y2, 0)
Agora, vamos calcular T(u) + T(v) = (x1 - y1 + x2 - y2, 2x1 + y1 + 2x2 + y2, 0 + 0) :
= (x1 + x2 - y1 - y2, 2x1 + 2x2 + y1 + y2, 0)
Vimos que . Então, a aditividade tá satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Vamos pegar um escalar T(cu) = T(cx, cy) = (cx - cy, 2(cx) + cy, 0) = (c(x - y), c(2x + y), 0) e um vetor T(u) = (x - y, 2x + y, 0) . Então,
cT(u) = (c(x - y), c(2x + y), c cdot 0) = (c(x - y), c(2x + y), 0)
Agora, vamos calcular :
Vimos que . Então, a homogeneidade também tá satisfeita.

Resposta

Sim, a transformação é linear.

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