Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja
:
em
, dada por
, pelas propriedades.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para verificar se uma transformação
é linear. A transformação é dada por
e vai de
pra
. Para resolver isso, a gente precisa saber o que define uma transformação linear. Vamos precisar entender as propriedades de aditividade e homogeneidade que caracterizam as transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Aditividade:
para todos os vetores no domínio. - Homogeneidade:
para qualquer escalar e para todo vetor no domínio.
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação
.
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Sejam
e
. Então,
Simplificando,
Agora, vamos calcular
:
Vimos que
. Então, a aditividade tá satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Vamos pegar um escalar
e um vetor
. Então,
Agora, vamos calcular
:
Vimos que
. Então, a homogeneidade também tá satisfeita.
Resposta
Sim, a transformação
é linear.
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Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja
em
, dada por
, pela definição.
Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja
em
, dada por
, usando os vetores
e o escalar
.
Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja
em
, dada por
pela definição.