Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja : em , dada por , pelas propriedades.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para verificar se uma transformação é linear. A transformação é dada por e vai de pra . Para resolver isso, a gente precisa saber o que define uma transformação linear. Vamos precisar entender as propriedades de aditividade e homogeneidade que caracterizam as transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para todos os vetores no domínio.
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e para todo vetor no domínio.
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação .

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Sejam e . Então,
Simplificando,
Agora, vamos calcular :
Vimos que . Então, a aditividade tá satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Vamos pegar um escalar e um vetor . Então,
Agora, vamos calcular :
Vimos que . Então, a homogeneidade também tá satisfeita.

Resposta

Sim, a transformação é linear.

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