Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja em , dada por , usando os vetores e o escalar .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! A gente tem uma transformação chamada que pega um vetor no plano ( ) e transforma ele em outro vetor no mesmo espaço. A fórmula dessa transformação é . A pergunta é: será que essa transformação é linear?
Pra resolver isso, vamos precisar saber o que é uma transformação linear e como verificar se uma função é linear. Vamos usar os vetores , e o escalar para ajudar na verificação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela respeita duas regras básicas:
  1. Adição de Vetores:
  2. Multiplicação por Escalar:
Se a transformação cumprir essas duas propriedades para quaisquer vetores e qualquer escalar , então ela é linear.

Passo 3

Vamos verificar a adição de vetores primeiro. Temos os vetores e .
Primeiro, calculamos :
Agora, aplicamos a transformação nesse resultado:
Em seguida, aplicamos a transformação separadamente em e e somamos os resultados:
Agora, comparamos com :
Como eles não são iguais, a transformação não respeita a adição de vetores.

Passo 4

Mesmo já sabendo que não é linear por não respeitar a adição, vamos conferir a multiplicação por escalar para completação.
Vamos usar o escalar e o vetor .
Primeiro, calculamos :
Aplicamos a transformação nesse resultado:
Agora, aplicamos a transformação em e depois multiplicamos pelo escalar:
Comparando com :
Mais uma vez, eles não são iguais, então não respeita a multiplicação por escalar.

Resposta

A transformação não é linear porque não respeita as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar.

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