Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja
em
, dada por
, usando os vetores
e o escalar
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! A gente tem uma transformação chamada
que pega um vetor no plano (
) e transforma ele em outro vetor no mesmo espaço. A fórmula dessa transformação é
. A pergunta é: será que essa transformação é linear?
Pra resolver isso, vamos precisar saber o que é uma transformação linear e como verificar se uma função é linear. Vamos usar os vetores
,
e o escalar
para ajudar na verificação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se ela respeita duas regras básicas:
- Adição de Vetores:
- Multiplicação por Escalar:
Se a transformação cumprir essas duas propriedades para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, então ela é linear.
Passo 3
Vamos verificar a adição de vetores primeiro. Temos os vetores
e
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, aplicamos a transformação
nesse resultado:
Em seguida, aplicamos a transformação
separadamente em
e
e somamos os resultados:
Agora, comparamos
com
:
Como eles não são iguais, a transformação
não respeita a adição de vetores.
Passo 4
Mesmo já sabendo que
não é linear por não respeitar a adição, vamos conferir a multiplicação por escalar para completação.
Vamos usar o escalar
e o vetor
.
Primeiro, calculamos
:
Aplicamos a transformação
nesse resultado:
Agora, aplicamos a transformação
em
e depois multiplicamos pelo escalar:
Comparando
com
:
Mais uma vez, eles não são iguais, então
não respeita a multiplicação por escalar.
Resposta
A transformação
não é linear porque não respeita as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar.
Exercícios relacionados
Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja
:
em
, dada por
, pelas propriedades.
Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja
em
, dada por
, pela definição.
Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja
em
, dada por
pela definição.
Verificar se transformações abaixo são lineares.
, onde
.