Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja T: R^2 em R^2, dada por T(x, y)=(x^2, 3 y), usando os vetores u=(3,-5), v=(2,-4) e o escalar alpha=-4.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! A gente tem uma transformação chamada que pega um vetor no plano ( ) e transforma ele em outro vetor no mesmo espaço. A fórmula dessa transformação é . A pergunta é: será que essa transformação é linear?
Pra resolver isso, vamos precisar saber o que é uma transformação linear e como verificar se uma função é linear. Vamos usar os vetores , e o escalar para ajudar na verificação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela respeita duas regras básicas:
  1. Adição de Vetores:
  2. Multiplicação por Escalar:
Se a transformação cumprir essas duas propriedades para quaisquer vetores e qualquer escalar , então ela é linear.

Passo 3

Vamos verificar a adição de vetores primeiro. Temos os vetores u + v = (3 + 2, -5 + (-4)) = (5, -9) e T(u + v) = T(5, -9) = (5^2, 3 times (-9)) = (25, -27) .
Primeiro, calculamos T(u) = T(3, -5) = (3^2, 3 times (-5)) = (9, -15) :
T(v) = T(2, -4) = (2^2, 3 times (-4)) = (4, -12)
Agora, aplicamos a transformação T(u) + T(v) = (9 + 4, -15 + (-12)) = (13, -27) nesse resultado:
(25, -27) neq (13, -27)
Em seguida, aplicamos a transformação separadamente em e e somamos os resultados:
Agora, comparamos com :
Como eles não são iguais, a transformação não respeita a adição de vetores.

Passo 4

Mesmo já sabendo que alpha u = -4 times (3, -5) = (-12, 20) não é linear por não respeitar a adição, vamos conferir a multiplicação por escalar para completação.
Vamos usar o escalar T(alpha u) = T(-12, 20) = ((-12)^2, 3 times 20) = (144, 60) e o vetor T(u) = T(3, -5) = (3^2, 3 times (-5)) = (9, -15) .
Primeiro, calculamos alpha T(u) = -4 times (9, -15) = (-36, 60) :
(144, 60) neq (-36, 60)
Aplicamos a transformação nesse resultado:
Agora, aplicamos a transformação em e depois multiplicamos pelo escalar:
Comparando com :
Mais uma vez, eles não são iguais, então não respeita a multiplicação por escalar.

Resposta

A transformação não é linear porque não respeita as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar.

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