Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.) Se existe lim x x0 f(x) e não existe lim x x0 g(x), então não existe lim x x0(f(x)+g(x)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para verificar se a afirmação:
“Se existe lim x x0 f(x) e não existe lim x x0 g(x), então não existe lim x x0(f(x)+g(x)).”
é verdadeira ou não. A matéria envolvida aqui é cálculo de limites, especificamente as propriedades dos limites de funções. Para resolver, vamos precisar entender como os limites de funções se comportam quando somamos duas funções, uma com limite e outra sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter o limite de uma função lim x x0 f(x). Isso quer dizer que, conforme x se aproxima de x0, os valores de f(x) se aproximam de um número específico, digamos L.
Por outro lado, quando dizemos que lim x x0 g(x) não existe, significa que os valores de g(x) não se aproximam de nenhum número específico conforme x se aproxima de x0. Isso pode acontecer por diferentes razões, como g(x) oscilar sem parar ou crescer indefinidamente.

Passo 3

Agora, queremos analisar o limite da soma f(x) + g(x). Sabemos que se duas funções têm limites, a soma delas também terá um limite que é a soma dos limites individuais. Mas aqui, temos uma função que tem limite e outra que não tem.
Então, a pergunta é: se somarmos uma função que se comporta bem ( f(x) tem limite) com uma que não se comporta bem ( g(x) não tem limite), o que acontece com a soma?

Passo 4

Vamos pensar nisso de forma intuitiva. Se f(x) está se aproximando de L e g(x) está “pulando” sem se aproximar de nada, então f(x) + g(x) vai herdar o comportamento de g(x), porque f(x) está praticamente adicionando apenas uma constante (próxima de L) ao g(x) que está instável.
Por exemplo, se f(x) está se aproximando de 2 e g(x) está oscilando entre -1 e 1, então f(x) + g(x) vai oscilar entre 1 e 3, sem se aproximar de nenhum valor específico.

Passo 5

Para formalizar, vamos considerar que lim x x0 f(x) = L. Como lim x x0 g(x) não existe, isso significa que para todo número real M, podemos encontrar valores de x próximos a x0 onde g(x) > M ou g(x) < -M, ou que g(x) não se aproxima de nenhum valor específico.
Assim, f(x) + g(x) = L + g(x). Se g(x) não tem limite, então L + g(x) também não terá limite, já que estamos apenas deslocando g(x) por uma constante, mas isso não resolve a instabilidade do comportamento de g(x).

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se existe lim x x0 f(x) e não existe lim x x0 g(x), então não existe lim x x0(f(x)+g(x)).

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