Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.) Se existe
e não existe
, então não existe
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para verificar se a afirmação:
“Se existe
e não existe
, então não existe
.”
é verdadeira ou não. A matéria envolvida aqui é cálculo de limites, especificamente as propriedades dos limites de funções. Para resolver, vamos precisar entender como os limites de funções se comportam quando somamos duas funções, uma com limite e outra sem limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter o limite de uma função
. Isso quer dizer que, conforme
se aproxima de
, os valores de
se aproximam de um número específico, digamos
.
Por outro lado, quando dizemos que
não existe, significa que os valores de
não se aproximam de nenhum número específico conforme
se aproxima de
. Isso pode acontecer por diferentes razões, como
oscilar sem parar ou crescer indefinidamente.
Passo 3
Agora, queremos analisar o limite da soma
. Sabemos que se duas funções têm limites, a soma delas também terá um limite que é a soma dos limites individuais. Mas aqui, temos uma função que tem limite e outra que não tem.
Então, a pergunta é: se somarmos uma função que se comporta bem (
tem limite) com uma que não se comporta bem (
não tem limite), o que acontece com a soma?
Passo 4
Vamos pensar nisso de forma intuitiva. Se
está se aproximando de
e
está “pulando” sem se aproximar de nada, então
vai herdar o comportamento de
, porque
está praticamente adicionando apenas uma constante (próxima de
) ao
que está instável.
Por exemplo, se
está se aproximando de 2 e
está oscilando entre -1 e 1, então
vai oscilar entre 1 e 3, sem se aproximar de nenhum valor específico.
Passo 5
Para formalizar, vamos considerar que
. Como
não existe, isso significa que para todo número real
, podemos encontrar valores de
próximos a
onde
ou
, ou que
não se aproxima de nenhum valor específico.
Assim,
. Se
não tem limite, então
também não terá limite, já que estamos apenas deslocando
por uma constante, mas isso não resolve a instabilidade do comportamento de
.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se existe
e não existe
, então não existe
.