Expandir e simplificar:
prodj=0^n(j+1)sumi=1^n i

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa expandir e simplificar a expressão:
prodj=0^n(j+1)sumi=1^n i
Aqui, estamos lidando com produtos e somas de séries. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular produtos de termos consecutivos e somas de uma sequência de números. Vamos aos passos!

Passo 2

Vamos primeiro entender o produto no numerador: (j+1) = 1, 2, 3, ldots, (n+1) .
Isso significa que multiplicamos todos os termos de prodj=0^n(j+1) = 1 times 2 times 3 times ldots times (n+1) até , somando 1 em cada . Ou seja:
Então, o produto fica:
Isso é igual a (fatorial de ).

Passo 3

Agora, vamos para o denominador, que é a soma: 1 + 2 + 3 + ldots + n .
Isso significa que somamos todos os números de 1 até sumi=1^n i = n(n+1)2 :
Sabemos que essa soma pode ser calculada usando a fórmula da soma dos primeiros números naturais:

Passo 4

Agora que temos o numerador e o denominador simplificados, vamos substituir de volta na expressão original:
prodj=0^n(j+1)sumi=1^n i = (n+1)!n(n+1)2

Passo 5

Para simplificar essa fração, invertimos o denominador e multiplicamos:
(n+1)!n(n+1)2 = (n+1)! times 2n(n+1)
Podemos simplificar = 2 times n! times (n+1)n(n+1) = 2 times n!n no numerador e no denominador:
= 2 times n times (n-1)!n = 2 times (n-1)!
Como , substituímos:

Resposta

A expressão simplificada é:
2 times (n-1)!

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