Verifique quais das aplicações abaixo são lineares:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a aplicação definida por é linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformação linear, que envolvem duas propriedades principais: adição e escalar. Precisamos checar se a transformação preserva a soma de vetores e a multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se transforma o vetor zero em zero. Isso é importante porque toda transformação linear deve satisfazer .
Calcular :
Então, . Essa parte está ok!

Passo 3

Agora, vamos verificar a adição. Queremos ver se para quaisquer vetores e .
Calculando :
Calculando :
Como , a propriedade de adição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos checar a multiplicação por escalar. Precisamos verificar se para qualquer vetor e escalar .
Calculando :
Calculando :
Como , a propriedade de multiplicação por escalar também está satisfeita.

Resposta

Como a transformação satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que ela é linear.

Exercícios relacionados

Se e , ache .
Determinar a equação vetorial da reta que passa pelos pontos .
Verifique quais das aplicações abaixo são lineares:
Determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
(d)