Verifique quais das aplicações abaixo são lineares: T: R^2 R^3 ; T(x, y)=(x-y, 2 y,-3 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a aplicação definida por é linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformação linear, que envolvem duas propriedades principais: adição e escalar. Precisamos checar se a transformação preserva a soma de vetores e a multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se T(0, 0) = (0 - 0, 2 cdot 0, -3 cdot 0) = (0, 0, 0) transforma o vetor zero em zero. Isso é importante porque toda transformação linear deve satisfazer .
Calcular :
Então, . Essa parte está ok!

Passo 3

Agora, vamos verificar a adição. Queremos ver se T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) - (y1 + y2), 2(y1 + y2), -3(y1 + y2)) = (x1 + x2 - y1 - y2, 2y1 + 2y2, -3y1 - 3y2) para quaisquer vetores T(x1, y1) + T(x2, y2) = (x1 - y1, 2y1, -3y1) + (x2 - y2, 2y2, -3y2) = (x1 + x2 - y1 - y2, 2y1 + 2y2, -3y1 - 3y2) e .
Calculando :
Calculando :
Como , a propriedade de adição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos checar a multiplicação por escalar. Precisamos verificar se T(cx, cy) = (cx - cy, 2(cy), -3(cy)) = (c(x - y), 2c y, -3c y) para qualquer vetor c cdot T(x, y) = c cdot (x - y, 2y, -3y) = (c(x - y), 2c y, -3c y) e escalar .
Calculando :
Calculando :
Como , a propriedade de multiplicação por escalar também está satisfeita.

Resposta

Como a transformação satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que ela é linear.

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