Verifique quais das aplicações abaixo são lineares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a aplicação
definida por
é linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformação linear, que envolvem duas propriedades principais: adição e escalar. Precisamos checar se a transformação preserva a soma de vetores e a multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
transforma o vetor zero em zero. Isso é importante porque toda transformação linear deve satisfazer
.
Calcular
:
Então,
. Essa parte está ok!
Passo 3
Agora, vamos verificar a adição. Queremos ver se
para quaisquer vetores
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a propriedade de adição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos checar a multiplicação por escalar. Precisamos verificar se
para qualquer vetor
e escalar
.
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a propriedade de multiplicação por escalar também está satisfeita.
Resposta
Como a transformação
satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que ela é linear.
Exercícios relacionados
Se
e
, ache
.
Verifique quais das aplicações abaixo são lineares:
Determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
(d)