Verifique se cada afirmativa abaixo é falsa ou verdadeira, justificando.
As funções
e
, definidas em seus respectivos domínios maximais, são iguais.
As funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se as funções
e
, definidas nos seus respectivos domínios máximos, são iguais. Vamos precisar entender o que significa duas funções serem iguais e verificar os domínios delas para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa duas funções serem iguais. Duas funções são iguais se, para todo valor de
no domínio de ambas, elas produzirem o mesmo resultado, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os domínios de cada função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Para
, o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero não é definida. Então, resolvemos:
Então, o domínio de
é todos os reais exceto
.
Para
, não há restrições no denominador ou radicando, então o domínio de
é todos os números reais.
Passo 4
Vamos agora verificar se
para todos os
no domínio de
.
Começamos simplificando
:
Observe que o numerador pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
Então:
Podemos cancelar
no numerador e denominador (desde que
, o que já consideramos no domínio):
Então,
para todo
no domínio de
.
Resposta
Verdadeiro. As funções
e
são iguais para todo
em que ambas estão definidas.