Verifique se cada afirmativa abaixo é falsa ou verdadeira, justificando.
As funções f(x) = (4 x^2 - 1) / (2 x + 1) e g(x) = 2x - 1, definidas em seus respectivos domínios maximais, são iguais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se as funções e , definidas nos seus respectivos domínios máximos, são iguais. Vamos precisar entender o que significa duas funções serem iguais e verificar os domínios delas para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa duas funções serem iguais. Duas funções são iguais se, para todo valor de no domínio de ambas, elas produzirem o mesmo resultado, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os domínios de cada função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Para , o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero não é definida. Então, resolvemos:
Então, o domínio de é todos os reais exceto .
Para , não há restrições no denominador ou radicando, então o domínio de é todos os números reais.

Passo 4

Vamos agora verificar se para todos os no domínio de .
Começamos simplificando :
Observe que o numerador pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
Então:
Podemos cancelar no numerador e denominador (desde que , o que já consideramos no domínio):
Então, para todo no domínio de .

Resposta

Verdadeiro. As funções e são iguais para todo em que ambas estão definidas.

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