Verifique que cada função dada,
e/ou
, é uma solução da equação diferencial associada.
.
Passo 1
Então, galera, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos uma equação diferencial:
no intervalo
. A gente também tem uma função proposta: . Nosso objetivo é verificar se essa função
é realmente uma solução dessa equação diferencial. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de segunda ordem de
e ver se, ao substituir na equação, ela satisfaz a igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
. A função é composta por dois termos:
e . Vamos derivar cada termo separadamente.
Para o primeiro termo
, usamos a regra do produto:
Para o segundo termo , também aplicamos a regra do produto:
Somando as duas derivadas, temos a primeira derivada de
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
, ou seja,
. Mais uma vez, derivamos cada termo da primeira derivada separadamente.
Para o termo , usamos a regra do produto:
Para o termo
, aplicamos a regra do produto:
Somando as duas derivadas, obtemos a segunda derivada de
:
Passo 4
Agora que temos
,
e
, vamos substituir na equação diferencial
e ver se iguala a
.
Substituindo:
Simplificando os termos:
Sabemos que , então:
Resposta
A função satisfaz a equação diferencial
no intervalo
. Portanto,
é uma solução da equação diferencial dada.