Verifique que cada função dada, y1(t) e/ou y2(t), é uma solução da equação diferencial associada.
y'' + y = sec(t), 0 < t < pi / 2
y1(t) = cos(t) ln(cos(t)) + t sen(t).

Passo 1

Então, galera, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos uma equação diferencial: no intervalo . A gente também tem uma função proposta: . Nosso objetivo é verificar se essa função é realmente uma solução dessa equação diferencial. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de segunda ordem de e ver se, ao substituir na equação, ela satisfaz a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de . A função é composta por dois termos: e . Vamos derivar cada termo separadamente.
Para o primeiro termo , usamos a regra do produto:
Para o segundo termo , também aplicamos a regra do produto:
Somando as duas derivadas, temos a primeira derivada de :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , ou seja, . Mais uma vez, derivamos cada termo da primeira derivada separadamente.
Para o termo , usamos a regra do produto:
Para o termo , aplicamos a regra do produto:
Somando as duas derivadas, obtemos a segunda derivada de :

Passo 4

Agora que temos , e , vamos substituir na equação diferencial e ver se iguala a .
Substituindo:
Simplificando os termos:
Sabemos que , então:

Resposta

A função satisfaz a equação diferencial no intervalo . Portanto, é uma solução da equação diferencial dada.

Exercícios relacionados