Verifique se cada uma das seguintes sequências converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(g)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é verificar se a sequência converge ou diverge. Isso envolve entender um pouquinho sobre limites de sequências e funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar conceitos de limites e algumas propriedades da tangente quando o ângulo é bem pequeno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com o ângulo dentro da tangente quando cresce. A expressão tende a zero quando vai para o infinito, ou seja, estamos analisando ú.

Passo 3

Sabemos que, para ângulos pequenos (em radianos), a tangente de é aproximadamente igual a . Isso é uma aproximação comum que usamos em limites: quando está perto de zero. Então, podemos substituir por nessa situação.

Passo 4

Substituindo essa aproximação na sequência, temos:
Isso sugere que, conforme cresce, se aproxima de 2.

Passo 5

Para confirmar isso de forma mais precisa, vamos calcular o limite da sequência:
Primeiro, fazemos uma mudança de variável: seja , então quando , . A expressão fica:
Sabemos que quando é pequeno, então:
Isso confirma que o limite da sequência é 2.

Resposta

A sequência converge e seu limite é .

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Resolva as integrais:
Escreva a fórmula do termo geral da sequência e determine seu limite (caso exista):
©
Avalie as integrais:
Verifique se cada uma das seguintes sequências converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(h)