Verifique se cada uma das seguintes sequências
converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é verificar se a sequência
converge ou diverge. Isso envolve entender um pouquinho sobre limites de sequências e funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar conceitos de limites e algumas propriedades da tangente quando o ângulo é bem pequeno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com o ângulo dentro da tangente quando
cresce. A expressão
tende a zero quando
vai para o infinito, ou seja, estamos analisando
.
Passo 3
Sabemos que, para ângulos pequenos (em radianos), a tangente de
é aproximadamente igual a
. Isso é uma aproximação comum que usamos em limites:
quando
está perto de zero. Então, podemos substituir
por
nessa situação.
Passo 4
Substituindo essa aproximação na sequência, temos:
Isso sugere que, conforme
cresce,
se aproxima de 2.
Passo 5
Para confirmar isso de forma mais precisa, vamos calcular o limite da sequência:
Primeiro, fazemos uma mudança de variável: seja
, então quando
,
. A expressão fica:
Sabemos que
quando
é pequeno, então:
Isso confirma que o limite da sequência é 2.
Resposta
A sequência
converge e seu limite é
.
Exercícios relacionados
Resolva as integrais:
Escreva a fórmula do termo geral
da sequência e determine seu limite (caso exista):
©
©
Avalie as integrais:
Verifique se cada uma das seguintes sequências
converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(h)
(h)