Verifique se os campos a seguir são conservativos:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se o campo vetorial
é conservativo. Isso envolve entender o que são campos conservativos e como identificá-los usando conceitos de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo conservativo? Um campo vetorial é chamado de conservativo se ele pode ser “derivado” de uma função potencial. Isso significa que existe uma função
tal que
, onde
é o gradiente de
.
Passo 3
Para verificar se o campo
é conservativo, precisamos analisar se ele satisfaz certas condições. No caso de campos em duas dimensões, uma condição chave é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais. Ou seja, se
, então o campo é conservativo se
.
Passo 4
Vamos identificar
e
no nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Passo 5
Comparando as derivadas:
Como
, a condição é satisfeita.
Resposta
Sim, o campo é conservativo.
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6.3 Funções Degrau
A função de Heaviside. Essa função será denotada por e é definida por
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Calcule o divergente dos campos vetoriais:
Calcule, caso exista,
, sendo
igual a: