Verifique se os campos a seguir são conservativos:
F(x, y, z) = (1 + 2xy + ln(x), x^2);

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se o campo vetorial é conservativo. Isso envolve entender o que são campos conservativos e como identificá-los usando conceitos de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo conservativo? Um campo vetorial é chamado de conservativo se ele pode ser “derivado” de uma função potencial. Isso significa que existe uma função tal que , onde é o gradiente de .

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo, precisamos analisar se ele satisfaz certas condições. No caso de campos em duas dimensões, uma condição chave é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais. Ou seja, se , então o campo é conservativo se .

Passo 4

Vamos identificar e no nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas parciais:

Passo 5

Comparando as derivadas:
Como , a condição é satisfeita.

Resposta

Sim, o campo é conservativo.

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