1. y'' + 4y = delta(t - 4 pi); y(0) = 1/2, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: com as condições iniciais e . O conteúdo que usamos aqui são as equações diferenciais lineares de segunda ordem e a função delta de Dirac, que é um impulso muito curto e alto em . Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace da derivada segunda é , onde é a transformada de .
Substituindo as transformadas:

Passo 3

Agora, vamos organizar os termos para resolver para :
Isolando :

Passo 4

Vamos dividir em duas partes para facilitar a inversão:
Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Sabemos que:
onde é a função degrau de Heaviside que ativa a função coseno em .

Resposta

Portanto, a solução da equação é:

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