Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
com as condições iniciais
e
. O conteúdo que usamos aqui são as equações diferenciais lineares de segunda ordem e a função delta de Dirac, que é um impulso muito curto e alto em
. Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace da derivada segunda
é
, onde
é a transformada de
.
Substituindo as transformadas:
Passo 3
Agora, vamos organizar os termos para resolver para
:
Isolando
:
Passo 4
Vamos dividir
em duas partes para facilitar a inversão:
Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Sabemos que:
onde
é a função degrau de Heaviside que ativa a função coseno em
.
Resposta
Portanto, a solução da equação é:
Exercícios relacionados
6.3 Funções Degrau
A função de Heaviside. Essa função será denotada por e é definida por
A função de Heaviside. Essa função será denotada por
Encontre
ou
como indicado:
Verifique se os campos a seguir são conservativos:
;
Calcule o divergente dos campos vetoriais: