Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D. S=(1,1),(-1,1).

Passo 1

Beleza! A gente vai verificar se o conjunto é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre combinações lineares e dependência linear. Para resolver, vamos precisar entender como verificar se os vetores do conjunto são L.I. ou L.D. usando combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se resolvermos a equação:
a(1,1) + b(-1,1) = (0,0)
e a única solução for e , então os vetores são L.I. Se houver outra solução, eles são L.D.

Passo 3

Vamos montar as equações a partir da combinação linear:
a(1) + b(-1) = 0 (para a primeira coordenada)
a(1) + b(1) = 0 (para a segunda coordenada)
Então temos o sistema de equações:
a - b = 0 a + b = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos isolar a = b :
b + b = 0 implies 2b = 0 implies b = 0
Substituindo na segunda equação:
E como , também .

Passo 5

Encontramos que a única solução é e . Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é quando ambos os coeficientes são zero.

Resposta

Então, o conjunto é linearmente independente (L.I.).

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