Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto de vetores
é Linearmente Independente (L.I.) ou Linearmente Dependente (L.D.). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais e como resolver sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente. Um conjunto de vetores é Linearmente Independente (L.I.) se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Caso contrário, ou seja, se existir uma combinação linear não trivial (alguns coeficientes diferentes de zero) que resulta no vetor zero, o conjunto é Linearmente Dependente (L.D.).
Passo 3
Para verificar isso, vamos supor que existe uma combinação linear dos vetores do conjunto que resulta no vetor zero. Ou seja:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos igualar cada componente correspondente dos vetores:
-
-
-
-
(mesma da terceira) -
(mesma da primeira)
Passo 5
Resolvendo o sistema:
- Da segunda equação:
=> - Substituindo
na primeira equação: => - Substituindo
na terceira equação: =>
Passo 6
Como a única solução para
é a trivial (
), isso significa que não existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero.
Resposta
O conjunto
é Linearmente Independente (L.I.).
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abaixo são subespaços vetoriais de
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e
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