Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D. S=(1,2,1,1,1),(0,0,1,1,0),(1,0,0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto de vetores é Linearmente Independente (L.I.) ou Linearmente Dependente (L.D.). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais e como resolver sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente. Um conjunto de vetores é Linearmente Independente (L.I.) se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Caso contrário, ou seja, se existir uma combinação linear não trivial (alguns coeficientes diferentes de zero) que resulta no vetor zero, o conjunto é Linearmente Dependente (L.D.).

Passo 3

Para verificar isso, vamos supor que existe uma combinação linear dos vetores do conjunto que resulta no vetor zero. Ou seja:
c1 cdot (1,2,1,1,1) + c2 cdot (0,0,1,1,0) + c3 cdot (1,0,0,0,1) = (0,0,0,0,0)
Isso significa que:
(c1 + c3, 2c1, c1 + c2, c1 + c2, c1 + c3) = (0,0,0,0,0)

Passo 4

Agora, vamos igualar cada componente correspondente dos vetores:
  1. (mesma da terceira)
  2. (mesma da primeira)

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  • Da segunda equação: =>
  • Substituindo na primeira equação: =>
  • Substituindo na terceira equação: =>

Passo 6

Como a única solução para é a trivial ( ), isso significa que não existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero.

Resposta

O conjunto é Linearmente Independente (L.I.).

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