Verifique se os conjuntos abaixo são subanéis de (Q,+,.$) com as operações usuais. ) com as operações usuais

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão: precisamos verificar se o conjunto é um subanél do anel com as operações usuais. Aqui, estamos trabalhando com álgebra abstrata, especificamente com anéis e subanéis. Para resolver isso, precisamos verificar se satisfaz os critérios para ser um subanél dentro de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um subanél. Um subanél de um anel é um subconjunto que é ele próprio um anel com as operações de . Isso significa que deve:
  1. Conter o elemento neutro aditivo: ou seja, 0 deve estar em .
  2. Ser fechado sob adição: se e estão em , então também deve estar em .
  3. Ser fechado sob multiplicação: se e estão em , então também deve estar em .
  4. Conter os inversos aditivos: se está em , então também está em .
Vamos verificar cada um desses pontos para .

Passo 3

1. Contém o elemento neutro aditivo:
O elemento neutro aditivo em 0 = 3 times 0 é 0. Vamos verificar se 0 está em :
Como 0 é um número inteiro, . Portanto, o primeiro critério é satisfeito.

Passo 4

2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de a = 3x e b = 3y onde x, y in Z :
a + b = 3x + 3y = 3(x + y)
Vamos somar e :
Como é um inteiro (pois é fechado sob adição), então . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechamento sob multiplicação:
Vamos multiplicar dois elementos quaisquer de a = 3x e b = 3y onde x, y in Z :
a cdot b = (3x)(3y) = 9xy = 3(3xy)
Vamos multiplicar e :
Como é um inteiro (produto de inteiros é inteiro), então . Portanto, é fechado sob multiplicação.

Passo 6

4. Contém os inversos aditivos:
Para qualquer , o inverso aditivo é . Como é um inteiro, então . Portanto, contém os inversos aditivos de seus elementos.

Passo 7

Como satisfaz todos os critérios para ser um subanél de , podemos concluir que:

Resposta

é um subanél de .

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