Verifique se os conjuntos abaixo são subanéis de
.$) com as operações usuais.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão: precisamos verificar se o conjunto
é um subanél do anel
com as operações usuais. Aqui, estamos trabalhando com álgebra abstrata, especificamente com anéis e subanéis. Para resolver isso, precisamos verificar se
satisfaz os critérios para ser um subanél dentro de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um subanél. Um subanél de um anel
é um subconjunto
que é ele próprio um anel com as operações de
. Isso significa que
deve:
- Conter o elemento neutro aditivo: ou seja, 0 deve estar em
. - Ser fechado sob adição: se
e estão em , então também deve estar em . - Ser fechado sob multiplicação: se
e estão em , então também deve estar em . - Conter os inversos aditivos: se
está em , então também está em .
Vamos verificar cada um desses pontos para
.
Passo 3
1. Contém o elemento neutro aditivo:
O elemento neutro aditivo em
é 0. Vamos verificar se 0 está em
:
Como 0 é um número inteiro,
. Portanto, o primeiro critério é satisfeito.
Passo 4
2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de
:
Vamos somar
e
:
Como
é um inteiro (pois
é fechado sob adição), então
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechamento sob multiplicação:
Vamos multiplicar dois elementos quaisquer de
:
Vamos multiplicar
e
:
Como
é um inteiro (produto de inteiros é inteiro), então
. Portanto,
é fechado sob multiplicação.
Passo 6
4. Contém os inversos aditivos:
Para qualquer
, o inverso aditivo é
. Como
é um inteiro, então
. Portanto,
contém os inversos aditivos de seus elementos.
Passo 7
Como
satisfaz todos os critérios para ser um subanél de
, podemos concluir que: