Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do R^3, consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. (x, y, z) in R^3 / x+y-z=10

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se o conjunto (x, y, z) in R^3 mid x + y - z = 10 é um subespaço vetorial de R^3. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente as propriedades que um subespaço vetorial deve satisfazer. Precisamos verificar se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence ao conjunto. O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Substituindo na equação:
0 + 0 - 0 = 0 neq 10
Como 0 neq 10, o vetor zero não está no conjunto.

Passo 3

Agora, mesmo que já tenhamos um indicativo de que o conjunto não é um subespaço, vamos verificar as outras propriedades para reforçar nossa conclusão.
Fechamento sob adição: Suponha que temos dois vetores no conjunto, (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2), onde:
x1 + y1 - z1 = 10 x2 + y2 - z2 = 10
A soma desses vetores é (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). Verificando a equação:
(x1 + x2) + (y1 + y2) - (z1 + z2) = (x1 + y1 - z1) + (x2 + y2 - z2) = 10 + 10 = 20 neq 10
Portanto, a soma de dois vetores do conjunto não está mais no conjunto.
Fechamento sob multiplicação por escalar: Seja c um escalar e (x, y, z) um vetor no conjunto, então:
c(x + y - z) = c cdot 10
Para que o vetor c(x, y, z) esteja no conjunto, precisaríamos que:
c(x) + c(y) - c(z) = 10
Mas isso só é possível se c = 1, o que não garante fechamento para quaisquer escalares.

Resposta

O conjunto (x, y, z) in R^3 mid x + y - z = 10 não é um subespaço vetorial de R^3 porque não contém o vetor zero e não é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados