Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do , consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente as propriedades que um subespaço vetorial deve satisfazer. Precisamos verificar se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence ao conjunto. O vetor zero em é . Substituindo na equação:
Como , o vetor zero não está no conjunto.

Passo 3

Agora, mesmo que já tenhamos um indicativo de que o conjunto não é um subespaço, vamos verificar as outras propriedades para reforçar nossa conclusão.
Fechamento sob adição: Suponha que temos dois vetores no conjunto, e , onde:
A soma desses vetores é . Verificando a equação:
Portanto, a soma de dois vetores do conjunto não está mais no conjunto.
Fechamento sob multiplicação por escalar: Seja um escalar e um vetor no conjunto, então:
Para que o vetor esteja no conjunto, precisaríamos que:
Mas isso só é possível se , o que não garante fechamento para quaisquer escalares.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de porque não contém o vetor zero e não é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

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