Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do
, consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente as propriedades que um subespaço vetorial deve satisfazer. Precisamos verificar se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence ao conjunto. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação:
Como
, o vetor zero não está no conjunto.
Passo 3
Agora, mesmo que já tenhamos um indicativo de que o conjunto não é um subespaço, vamos verificar as outras propriedades para reforçar nossa conclusão.
Fechamento sob adição: Suponha que temos dois vetores no conjunto,
e
, onde:
A soma desses vetores é
. Verificando a equação:
Portanto, a soma de dois vetores do conjunto não está mais no conjunto.
Fechamento sob multiplicação por escalar: Seja
um escalar e
um vetor no conjunto, então:
Para que o vetor
esteja no conjunto, precisaríamos que:
Mas isso só é possível se
, o que não garante fechamento para quaisquer escalares.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
porque não contém o vetor zero e não é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
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