Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do
, consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
e
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a questão. A gente precisa verificar se os conjuntos fornecidos são subespaços vetoriais de
. Isso envolve checar se eles satisfazem certas propriedades matemáticas básicas. Para fazer isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve cumprir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
em
é chamado de subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar essas condições para os conjuntos dados.
Passo 3
Primeiro, vamos analisar o primeiro conjunto:
.
1. Contém o vetor zero?
Substituindo ,
,
na equação:
✅
Substituindo
2. Fechado sob adição?
Se temos dois vetores e
que satisfazem
e
, então:
Verificando:
✅
Se temos dois vetores
Verificando:
3. Fechado sob multiplicação por escalar?
Se satisfaz
e
é um escalar, então:
Verificando:
✅
Se
Verificando:
Passo 4
Agora, vamos analisar o segundo conjunto:
.
1. Contém o vetor zero?
Vamos ver se satisfaz
:
?
❌
Vamos ver se
Já que o vetor zero não está no conjunto, ele não é um subespaço vetorial.
Resposta
O primeiro conjunto
é um subespaço vetorial do
. Já o segundo conjunto
não é um subespaço vetorial.
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