Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do , consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. e

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a questão. A gente precisa verificar se os conjuntos fornecidos são subespaços vetoriais de . Isso envolve checar se eles satisfazem certas propriedades matemáticas básicas. Para fazer isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve cumprir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto em é chamado de subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar essas condições para os conjuntos dados.

Passo 3

Primeiro, vamos analisar o primeiro conjunto: .
1. Contém o vetor zero?
Substituindo , , na equação:
2. Fechado sob adição?
Se temos dois vetores e que satisfazem e , então:

Verificando:
3. Fechado sob multiplicação por escalar?
Se satisfaz e é um escalar, então:

Verificando:

Passo 4

Agora, vamos analisar o segundo conjunto: .
1. Contém o vetor zero?
Vamos ver se satisfaz :
?
Já que o vetor zero não está no conjunto, ele não é um subespaço vetorial.

Resposta

O primeiro conjunto é um subespaço vetorial do . Já o segundo conjunto não é um subespaço vetorial.

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