Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do R^3, consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. (x, y, z) in R^3 / x+y-z=0 e y=x+1

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a questão. A gente precisa verificar se os conjuntos fornecidos são subespaços vetoriais de R^3. Isso envolve checar se eles satisfazem certas propriedades matemáticas básicas. Para fazer isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve cumprir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto V em R^3 é chamado de subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor (0, 0, 0) deve estar em V.
  2. Fechado sob adição: Se u e v estão em V, então u + v também está em V.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se u está em V e c é um escalar, então c cdot u também está em V.
Vamos verificar essas condições para os conjuntos dados.

Passo 3

Primeiro, vamos analisar o primeiro conjunto: (x, y, z) in R^3 mid x + y - z = 0.
1. Contém o vetor zero?
Substituindo x = 0, y = 0, z = 0 na equação:
0 + 0 - 0 = 0
2. Fechado sob adição?
Se temos dois vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) que satisfazem x1 + y1 - z1 = 0 e x2 + y2 - z2 = 0, então:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Verificando:
(x1 + x2) + (y1 + y2) - (z1 + z2) = (x1 + y1 - z1) + (x2 + y2 - z2) = 0 + 0 = 0
3. Fechado sob multiplicação por escalar?
Se u = (x, y, z) satisfaz x + y - z = 0 e c é um escalar, então:
c cdot u = (c x, c y, c z)
Verificando:
c x + c y - c z = c(x + y - z) = c cdot 0 = 0

Passo 4

Agora, vamos analisar o segundo conjunto: (x, y, z) in R^3 mid y = x + 1.
1. Contém o vetor zero?
Vamos ver se (0, 0, 0) satisfaz y = x + 1:
0 = 0 + 1 ?
0 = 1
Já que o vetor zero não está no conjunto, ele não é um subespaço vetorial.

Resposta

O primeiro conjunto (x, y, z) in R^3 mid x + y - z = 0 é um subespaço vetorial do R^3. Já o segundo conjunto (x, y, z) in R^3 mid y = x + 1 não é um subespaço vetorial.

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