Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do R^3, consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. (x, x+2, x-1) in R^3 / x in R

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos verificar se um conjunto específico de vetores em é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear, especificamente a definição de subespaço vetorial. Vamos precisar verificar três condições principais:
  1. Se o vetor zero está no conjunto.
  2. Se o conjunto é fechado sob adição de vetores.
  3. Se o conjunto é fechado sob multiplicação por um escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em x = 0 x + 2 = 0 x - 1 = 0 é . Vamos ver se existe um valor de que satisfaça .
Resolvendo as equações:
Da primeira equação, temos . Substituindo na segunda: , o que não satisfaz a condição. Portanto, o vetor zero não está no conjunto.

Passo 3

Como o vetor zero não está no conjunto, já podemos concluir que o conjunto não é um subespaço vetorial de (x+y, x+y+4, x+y-2) = (z, z+2, z-1) . Mas, por completude, vamos verificar as outras condições também.
Primeiro, a adição de vetores: se tomarmos dois vetores quaisquer do conjunto, digamos x + y = z x + y + 4 = z + 2 x + y - 2 = z - 1 e x + y + 4 = (x + y) + 2 implies 4 = 2 , a soma deles seria . Para que a soma também pertença ao conjunto, precisaríamos que exista um tal que:
Isso implica que:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
O que é uma contradição. Portanto, o conjunto não é fechado sob adição.

Passo 4

Por fim, vamos verificar a multiplicação por escalar. Se tomarmos um vetor (kx, kx + 2k, kx - k) = (z, z+2, z-1) do conjunto e multiplicarmos por um escalar kx = z kx + 2k = z + 2 kx - k = z - 1 , obtemos kx + 2k = kx + 2 implies 2k = 2 implies k = 1 .
Para que esse vetor também pertença ao conjunto, deve existir um kx - k = kx - 1 implies -k = -1 implies k = 1 tal que:
Isso implica que:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
E na terceira:
Isso significa que a multiplicação por escalar só mantém o vetor no conjunto se , ou seja, apenas a identidade. Portanto, o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar geral.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de .

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