Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do , consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos verificar se um conjunto específico de vetores em é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear, especificamente a definição de subespaço vetorial. Vamos precisar verificar três condições principais:
Se o vetor zero está no conjunto.
Se o conjunto é fechado sob adição de vetores.
Se o conjunto é fechado sob multiplicação por um escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em é . Vamos ver se existe um valor de que satisfaça .
Resolvendo as equações:
Da primeira equação, temos . Substituindo na segunda: , o que não satisfaz a condição. Portanto, o vetor zero não está no conjunto.
Passo 3
Como o vetor zero não está no conjunto, já podemos concluir que o conjunto não é um subespaço vetorial de . Mas, por completude, vamos verificar as outras condições também.
Primeiro, a adição de vetores: se tomarmos dois vetores quaisquer do conjunto, digamos e , a soma deles seria . Para que a soma também pertença ao conjunto, precisaríamos que exista um tal que:
Isso implica que:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
O que é uma contradição. Portanto, o conjunto não é fechado sob adição.
Passo 4
Por fim, vamos verificar a multiplicação por escalar. Se tomarmos um vetor do conjunto e multiplicarmos por um escalar , obtemos .
Para que esse vetor também pertença ao conjunto, deve existir um tal que:
Isso implica que:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
E na terceira:
Isso significa que a multiplicação por escalar só mantém o vetor no conjunto se , ou seja, apenas a identidade. Portanto, o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar geral.