Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do , consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se dois conjuntos são subespaços vetoriais de . Para isso, vamos utilizar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar três coisas para cada conjunto: se o vetor zero está no conjunto, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o primeiro conjunto: .

Passo 3

Verificando o vetor zero:
O vetor zero em é . Substituindo na equação:
Então, o vetor zero está no conjunto.

Passo 4

Verificando a adição:
Se temos dois vetores e no conjunto, então:
Somando esses vetores:
Então, a soma dos dois vetores também está no conjunto.

Passo 5

Verificando a multiplicação por escalar:
Se temos um vetor no conjunto e um escalar , então:
Multiplicando por :
Então, o vetor multiplicado por qualquer escalar também está no conjunto.

Passo 6

Agora, vamos analisar o segundo conjunto: .

Passo 7

Verificando o vetor zero:
Substituindo na equação:
O vetor zero está no conjunto.

Passo 8

Verificando a adição:
Para dois vetores e no conjunto:
Somando:
Portanto, a soma está no conjunto.

Passo 9

Verificando a multiplicação por escalar:
Para um vetor no conjunto e um escalar :
Multiplicando por :
Assim, o vetor multiplicado por um escalar também está no conjunto.

Resposta

Ambos os conjuntos e são subespaços vetoriais de .

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