Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do
, consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se dois conjuntos são subespaços vetoriais de
. Para isso, vamos utilizar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar três coisas para cada conjunto: se o vetor zero está no conjunto, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o primeiro conjunto:
.
Passo 3
Verificando o vetor zero:
O vetor zero em é
. Substituindo na equação:
O vetor zero em
Então, o vetor zero está no conjunto.
Passo 4
Verificando a adição:
Se temos dois vetores e
no conjunto, então:
Se temos dois vetores
Somando esses vetores:
Então, a soma dos dois vetores também está no conjunto.
Passo 5
Verificando a multiplicação por escalar:
Se temos um vetor no conjunto e um escalar
, então:
Se temos um vetor
Multiplicando por
:
Então, o vetor multiplicado por qualquer escalar também está no conjunto.
Passo 6
Agora, vamos analisar o segundo conjunto:
.
Passo 7
Verificando o vetor zero:
Substituindo na equação:
Substituindo
O vetor zero está no conjunto.
Passo 8
Verificando a adição:
Para dois vetores e
no conjunto:
Para dois vetores
Somando:
Portanto, a soma está no conjunto.
Passo 9
Verificando a multiplicação por escalar:
Para um vetor no conjunto e um escalar
:
Para um vetor
Multiplicando por
:
Assim, o vetor multiplicado por um escalar também está no conjunto.
Resposta
Ambos os conjuntos
e
são subespaços vetoriais de
.
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e
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e
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