Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do R^3, consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. (x, y, z) in R^3 / x+y+z=0 e x-y-z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se dois conjuntos são subespaços vetoriais de R^3. Para isso, vamos utilizar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar três coisas para cada conjunto: se o vetor zero está no conjunto, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o primeiro conjunto: (x, y, z) in R^3 mid x + y + z = 0.

Passo 3

Verificando o vetor zero:
O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Substituindo na equação:
0 + 0 + 0 = 0 (Verdadeiro)
Então, o vetor zero está no conjunto.

Passo 4

Verificando a adição:
Se temos dois vetores (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) no conjunto, então:
x1 + y1 + z1 = 0 x2 + y2 + z2 = 0
Somando esses vetores:
(x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) = 0 + 0 = 0
Então, a soma dos dois vetores também está no conjunto.

Passo 5

Verificando a multiplicação por escalar:
Se temos um vetor (x, y, z) no conjunto e um escalar k, então:
x + y + z = 0
Multiplicando por k:
k x + k y + k z = k(x + y + z) = k cdot 0 = 0
Então, o vetor multiplicado por qualquer escalar também está no conjunto.

Passo 6

Agora, vamos analisar o segundo conjunto: (x, y, z) in R^3 mid x - y - z = 0.

Passo 7

Verificando o vetor zero:
Substituindo (0, 0, 0) na equação:
0 - 0 - 0 = 0 (Verdadeiro)
O vetor zero está no conjunto.

Passo 8

Verificando a adição:
Para dois vetores (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) no conjunto:
x1 - y1 - z1 = 0 x2 - y2 - z2 = 0
Somando:
(x1 + x2) - (y1 + y2) - (z1 + z2) = (x1 - y1 - z1) + (x2 - y2 - z2) = 0 + 0 = 0
Portanto, a soma está no conjunto.

Passo 9

Verificando a multiplicação por escalar:
Para um vetor (x, y, z) no conjunto e um escalar k:
x - y - z = 0
Multiplicando por k:
k x - k y - k z = k(x - y - z) = k cdot 0 = 0
Assim, o vetor multiplicado por um escalar também está no conjunto.

Resposta

Ambos os conjuntos (x, y, z) in R^3 mid x + y + z = 0 e (x, y, z) in R^3 mid x - y - z = 0 são subespaços vetoriais de R^3.

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