Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do R^3, consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. (x, y, z) in R^3 / x+y+2 z=0 e y=x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisa verificar se dois conjuntos são subespaços vetoriais do . Isso significa que, para cada conjunto, a gente precisa ver se ele satisfaz três condições básicas: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. Vamos precisar lembrar dessas definições para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o primeiro conjunto: x + y + 2z = 0 implies 0 + 0 + 2(0) = 0 (Verdade) .
Para ser um subespaço, ele precisa conter o vetor zero. Vamos verificar:
Então, o vetor zero está no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores (x1 + x2) + (y1 + y2) + 2(z1 + z2) = (x1 + y1 + 2z1) + (x2 + y2 + 2z2) = 0 + 0 = 0 e desse conjunto, a soma também deve estar no conjunto.
Vamos somar as equações:
Então, a soma também satisfaz .

Passo 4

Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Se pegarmos um vetor cx + cy + 2(cz) = c(x + y + 2z) = c cdot 0 = 0 no conjunto e um escalar , o vetor também deve estar no conjunto.
Substituindo na equação:
Portanto, também satisfaz .

Passo 5

Agora, vamos analisar o segundo conjunto: y = x implies 0 = 0 .
Primeiro, verificamos se o vetor zero está no conjunto:
Então, o vetor zero está presente.

Passo 6

Em seguida, verificamos a adição. Seja y1 + y2 = x1 + x2 e no conjunto, ou seja, e .
A soma é .
Verificando :
Como e , a igualdade se mantém, então a soma está no conjunto.

Passo 7

Por fim, verificamos a multiplicação por escalar. Seja cy = cx no conjunto, com , e um escalar .
O vetor .
Verificando :
Como , então , e a igualdade se mantém. Portanto, está no conjunto.

Resposta

Ambos os conjuntos são subespaços vetoriais do .

Exercícios relacionados