Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do , consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisa verificar se dois conjuntos são subespaços vetoriais do . Isso significa que, para cada conjunto, a gente precisa ver se ele satisfaz três condições básicas: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. Vamos precisar lembrar dessas definições para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o primeiro conjunto: .
Para ser um subespaço, ele precisa conter o vetor zero. Vamos verificar:
Então, o vetor zero está no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores e desse conjunto, a soma também deve estar no conjunto.
Vamos somar as equações:
Então, a soma também satisfaz .

Passo 4

Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Se pegarmos um vetor no conjunto e um escalar , o vetor também deve estar no conjunto.
Substituindo na equação:
Portanto, também satisfaz .

Passo 5

Agora, vamos analisar o segundo conjunto: .
Primeiro, verificamos se o vetor zero está no conjunto:
Então, o vetor zero está presente.

Passo 6

Em seguida, verificamos a adição. Seja e no conjunto, ou seja, e .
A soma é .
Verificando :
Como e , a igualdade se mantém, então a soma está no conjunto.

Passo 7

Por fim, verificamos a multiplicação por escalar. Seja no conjunto, com , e um escalar .
O vetor .
Verificando :
Como , então , e a igualdade se mantém. Portanto, está no conjunto.

Resposta

Ambos os conjuntos são subespaços vetoriais do .

Exercícios relacionados

Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do , consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do , consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. e
Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do , consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
(VUNESP - PREFEITURA - ALMOXARIFE - 2023) Uma pessoa dispõe de 2,8 litros de álcool e 4,8 litros de detergente e irá dividir esses dois produtos em frascos pequenos, cada frasco com um só tipo de produto e todos os frascos contendo a mesma quantidade, sendo essa quantidade a maior possível. Nessas condições, e sabendo que os dois produtos foram totalmente divididos em frascos pequenos, o número de frascos com detergente irá superar o número de frascos com álcool em: a) 5