Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do
, consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisa verificar se dois conjuntos são subespaços vetoriais do
. Isso significa que, para cada conjunto, a gente precisa ver se ele satisfaz três condições básicas: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. Vamos precisar lembrar dessas definições para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o primeiro conjunto:
.
Para ser um subespaço, ele precisa conter o vetor zero. Vamos verificar:
Então, o vetor zero está no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores
e
desse conjunto, a soma
também deve estar no conjunto.
Vamos somar as equações:
Então, a soma também satisfaz
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Se pegarmos um vetor
no conjunto e um escalar
, o vetor
também deve estar no conjunto.
Substituindo na equação:
Portanto,
também satisfaz
.
Passo 5
Agora, vamos analisar o segundo conjunto:
.
Primeiro, verificamos se o vetor zero está no conjunto:
Então, o vetor zero está presente.
Passo 6
Em seguida, verificamos a adição. Seja
e
no conjunto, ou seja,
e
.
A soma é
.
Verificando
:
Como
e
, a igualdade se mantém, então a soma está no conjunto.
Passo 7
Por fim, verificamos a multiplicação por escalar. Seja
no conjunto, com
, e um escalar
.
O vetor
.
Verificando
:
Como
, então
, e a igualdade se mantém. Portanto,
está no conjunto.
Resposta
Ambos os conjuntos são subespaços vetoriais do
.
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e
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