Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do R^3, consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. (x, y, z) in R^3 / y=x e z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto (x, y, z) in R^3 mid y = x e z = 0 é um subespaço vetorial de R^3. Para resolver isso, vamos usar os critérios que definem um subespaço vetorial:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado para adição (se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também está no conjunto).
  3. É fechado para multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor do conjunto por um número qualquer, o resultado também está no conjunto).

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o conjunto contém o vetor zero. O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Vamos verificar se ele satisfaz as condições do conjunto:
  • y = x: Para o vetor (0, 0, 0), y = 0 e x = 0, então 0 = 0.
  • z = 0: Sim, z = 0.
    Então, o vetor zero está no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado para adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto e somarmos, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos considerar dois vetores quaisquer do conjunto:
  • Vetor u = (x1, y1, z1), onde y1 = x1 e z1 = 0.
  • Vetor v = (x2, y2, z2), onde y2 = x2 e z2 = 0.
Somando esses vetores:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x1 + x2, x1 + x2, 0 + 0) = (x1 + x2, x1 + x2, 0)
Observamos que no vetor resultante, y = x e z = 0, então u + v também está no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado para adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado para multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor qualquer do conjunto e multiplicarmos por um número qualquer, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos considerar um vetor qualquer do conjunto:
  • Vetor u = (x, y, z), onde y = x e z = 0.
Multiplicando por um escalar c:
c cdot u = (c cdot x, c cdot y, c cdot z) = (c cdot x, c cdot x, c cdot 0) = (c cdot x, c cdot x, 0)
No vetor resultante, y = x (pois c cdot x é igual a c cdot x) e z = 0. Assim, c cdot u também está no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado para multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto satisfaz todas as condições de conter o vetor zero, ser fechado para adição e fechado para multiplicação por escalar, ele é um subespaço vetorial de R^3.

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