Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do
, consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para resolver isso, vamos usar os critérios que definem um subespaço vetorial:
- Contém o vetor zero.
- É fechado para adição (se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também está no conjunto).
- É fechado para multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor do conjunto por um número qualquer, o resultado também está no conjunto).
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o conjunto contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Vamos verificar se ele satisfaz as condições do conjunto:
-
: Para o vetor , e , então . -
: Sim, .
Então, o vetor zero está no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado para adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto e somarmos, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos considerar dois vetores quaisquer do conjunto:
- Vetor
, onde e . - Vetor
, onde e .
Somando esses vetores:
Observamos que no vetor resultante,
e
, então
também está no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado para adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado para multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor qualquer do conjunto e multiplicarmos por um número qualquer, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos considerar um vetor qualquer do conjunto:
- Vetor
, onde e .
Multiplicando por um escalar
:
No vetor resultante,
(pois
é igual a
) e
. Assim,
também está no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado para multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto satisfaz todas as condições de conter o vetor zero, ser fechado para adição e fechado para multiplicação por escalar, ele é um subespaço vetorial de
.