Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do , consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se dois conjuntos são subespaços vetoriais de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre subespaços vetoriais. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
  2. Fechado na adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado na multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor do conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos aplicar essas condições para cada um dos conjuntos que você me deu.

Passo 3

Primeiro Conjunto:
  1. Verificar o vetor zero:
    Substituindo , , na equação:
    Isso é verdadeiro, então o vetor zero está no conjunto.
  2. Fechado na adição:
    Se temos dois vetores e no conjunto, então:
    Então, a soma também satisfaz a equação.
  3. Fechado na multiplicação por escalar:
    Se temos um vetor no conjunto e um escalar , então:
    Então, o vetor multiplicado por também está no conjunto.
Como todas as três condições são satisfeitas, esse conjunto é um subespaço vetorial de .

Passo 4

Segundo Conjunto:
Vamos verificar as mesmas três condições:
  1. Verificar o vetor zero:
    Substituindo , , na equação: O vetor zero não está no conjunto. Isso já quebra a primeira condição para ser um subespaço vetorial. Não precisa verificar as outras condições, pois uma já falhou.
Então, esse conjunto não é um subespaço vetorial de .

Resposta

O primeiro conjunto é um subespaço vetorial de . Já o segundo conjunto não é um subespaço vetorial de .

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