Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do R^3, consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. (x, y, z) in R^3 / x+2 y+z=0 e x+y-z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se dois conjuntos são subespaços vetoriais de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre subespaços vetoriais. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
  2. Fechado na adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado na multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor do conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos aplicar essas condições para cada um dos conjuntos que você me deu.

Passo 3

Primeiro Conjunto: 0 + 2(0) + 0 = 0
  1. Verificar o vetor zero:
    Substituindo (x1 + x2) + 2(y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 + 2y1 + z1) + (x2 + 2y2 + z2) = 0 + 0 = 0 , kx + 2(ky) + kz = k(x + 2y + z) = k cdot 0 = 0 , na equação:
    Isso é verdadeiro, então o vetor zero está no conjunto.
  2. Fechado na adição:
    Se temos dois vetores e no conjunto, então:
    Então, a soma também satisfaz a equação.
  3. Fechado na multiplicação por escalar:
    Se temos um vetor no conjunto e um escalar , então:
    Então, o vetor multiplicado por também está no conjunto.
Como todas as três condições são satisfeitas, esse conjunto é um subespaço vetorial de .

Passo 4

Segundo Conjunto: 0 + 0 - 0 = 0 neq 1
Vamos verificar as mesmas três condições:
  1. Verificar o vetor zero:
    Substituindo , , na equação: O vetor zero não está no conjunto. Isso já quebra a primeira condição para ser um subespaço vetorial. Não precisa verificar as outras condições, pois uma já falhou.
Então, esse conjunto não é um subespaço vetorial de .

Resposta

O primeiro conjunto é um subespaço vetorial de . Já o segundo conjunto não é um subespaço vetorial de .

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