Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do
, consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se dois conjuntos são subespaços vetoriais de
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre subespaços vetoriais. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechado na adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado na multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor do conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos aplicar essas condições para cada um dos conjuntos que você me deu.
Passo 3
Primeiro Conjunto:
-
Verificar o vetor zero:
Substituindo, , na equação: Isso é verdadeiro, então o vetor zero está no conjunto. -
Fechado na adição:
Se temos dois vetorese no conjunto, então: Então, a soma também satisfaz a equação. -
Fechado na multiplicação por escalar:
Se temos um vetorno conjunto e um escalar , então: Então, o vetor multiplicado portambém está no conjunto.
Como todas as três condições são satisfeitas, esse conjunto é um subespaço vetorial de
.
Passo 4
Segundo Conjunto:
Vamos verificar as mesmas três condições:
- Verificar o vetor zero:
Substituindo, , na equação: O vetor zero não está no conjunto. Isso já quebra a primeira condição para ser um subespaço vetorial. Não precisa verificar as outras condições, pois uma já falhou.
Então, esse conjunto não é um subespaço vetorial de
.
Resposta
O primeiro conjunto
é um subespaço vetorial de
. Já o segundo conjunto
não é um subespaço vetorial de
.
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e