Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do R^3, consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. (x, y, z) in R^3 / x=0 e z=|y|

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se o conjunto (x, y, z) in R^3 mid x=0 e z=|y| é um subespaço vetorial de R^3. Para isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial. Vamos precisar verificar três coisas: se o conjunto contém o vetor zero, se ele é fechado em relação à adição de vetores e se é fechado em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Se substituirmos na condição do conjunto:
  • x = 0 (ok)
  • z = |y| = |0| = 0 (ok)
Então, o vetor zero está no conjunto. Isso atende ao primeiro critério para ser um subespaço vetorial.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado em relação à adição de vetores. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer no conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos considerar dois vetores quaisquer no conjunto: (0, y1, |y1|) e (0, y2, |y2|). A soma desses vetores é:
(0 + 0, y1 + y2, |y1| + |y2|) = (0, y1 + y2, |y1| + |y2|)
Para que esse vetor esteja no conjunto, precisaríamos que z = |y|, ou seja:
|y1| + |y2| = |y1 + y2|
No entanto, isso nem sempre é verdadeiro. Por exemplo, se y1 = 1 e y2 = -1, temos:
|1| + |-1| = 1 + 1 = 2
|1 + (-1)| = |0| = 0
Aqui, 2 neq 0, então a condição não é satisfeita. Portanto, o conjunto não é fechado em relação à adição.

Passo 4

Mesmo já sabendo que o conjunto não é fechado em relação à adição, vamos verificar a multiplicação por escalar por completude. Isso significa que, se pegarmos um vetor no conjunto e multiplicarmos por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos considerar um vetor qualquer no conjunto: (0, y, |y|). Multiplicando por um escalar k, temos:
k cdot (0, y, |y|) = (0, k y, k |y|)
Para que esse vetor esteja no conjunto, precisamos que z = |y|, ou seja:
k |y| = |k y|
Isso é sempre verdadeiro porque |k y| = |k| |y| = k |y| se k for não negativo, e |k| |y| se k for negativo, mas como k é real, a igualdade se mantém. Portanto, o conjunto é fechado em relação à multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto contém o vetor zero e é fechado em relação à multiplicação por escalar, mas não é fechado em relação à adição, concluímos que não é um subespaço vetorial de R^3.

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