Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do
, consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial. Vamos precisar verificar três coisas: se o conjunto contém o vetor zero, se ele é fechado em relação à adição de vetores e se é fechado em relação à multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em
é
. Se substituirmos na condição do conjunto:
-
(ok) -
(ok)
Então, o vetor zero está no conjunto. Isso atende ao primeiro critério para ser um subespaço vetorial.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado em relação à adição de vetores. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer no conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos considerar dois vetores quaisquer no conjunto:
e
. A soma desses vetores é:
Para que esse vetor esteja no conjunto, precisaríamos que
, ou seja:
No entanto, isso nem sempre é verdadeiro. Por exemplo, se
e
, temos:
Aqui,
, então a condição não é satisfeita. Portanto, o conjunto não é fechado em relação à adição.
Passo 4
Mesmo já sabendo que o conjunto não é fechado em relação à adição, vamos verificar a multiplicação por escalar por completude. Isso significa que, se pegarmos um vetor no conjunto e multiplicarmos por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos considerar um vetor qualquer no conjunto:
. Multiplicando por um escalar
, temos:
Para que esse vetor esteja no conjunto, precisamos que
, ou seja:
Isso é sempre verdadeiro porque
se
for não negativo, e
se
for negativo, mas como
é real, a igualdade se mantém. Portanto, o conjunto é fechado em relação à multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto contém o vetor zero e é fechado em relação à multiplicação por escalar, mas não é fechado em relação à adição, concluímos que não é um subespaço vetorial de
.
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