Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do , consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial. Vamos precisar verificar três coisas: se o conjunto contém o vetor zero, se ele é fechado em relação à adição de vetores e se é fechado em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em é . Se substituirmos na condição do conjunto:
  • (ok)
  • (ok)
Então, o vetor zero está no conjunto. Isso atende ao primeiro critério para ser um subespaço vetorial.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado em relação à adição de vetores. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer no conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos considerar dois vetores quaisquer no conjunto: e . A soma desses vetores é:
Para que esse vetor esteja no conjunto, precisaríamos que , ou seja:
No entanto, isso nem sempre é verdadeiro. Por exemplo, se e , temos:
Aqui, , então a condição não é satisfeita. Portanto, o conjunto não é fechado em relação à adição.

Passo 4

Mesmo já sabendo que o conjunto não é fechado em relação à adição, vamos verificar a multiplicação por escalar por completude. Isso significa que, se pegarmos um vetor no conjunto e multiplicarmos por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos considerar um vetor qualquer no conjunto: . Multiplicando por um escalar , temos:
Para que esse vetor esteja no conjunto, precisamos que , ou seja:
Isso é sempre verdadeiro porque se for não negativo, e se for negativo, mas como é real, a igualdade se mantém. Portanto, o conjunto é fechado em relação à multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto contém o vetor zero e é fechado em relação à multiplicação por escalar, mas não é fechado em relação à adição, concluímos que não é um subespaço vetorial de .

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